Tipo de homotopía de Hypersurfaces polinomio

Question

Se sabe que el homotopy tipo de locus $\{ (z_0, \dots, z_n) \in \mathbb{C} \, | \, z_0^{a_0} + \cdots + z_n^{a_n} = 1 \}$ donde $a_0, \dots, a_n \in \mathbb{N}$ $\mu$veces cuña suma de $n$-esferas, donde $\mu = \prod_{i = 1}^{n} (a_i - 1)$. Estos espacios son los diffeomorphic a las fibras de Brieskorn-Pham Colectores $\Sigma(a_0, \dots, a_n)$.

Me gustaría entender relacionados con los espacios definidos por un solo monomio en varias variables. Considerar el lugar geométrico de los puntos $V_n = \{ (z_0, \dots, z_n) \in \mathbb{C} \, | \, z_0 \cdots z_n = 1 \}$. Desde $z_k = (z_1 \cdots \hat{z}_{k} \cdots z_n)^{-1}$$0 \leqslant k \leqslant n$, $V_{n}$ es diffeomorphic para el espacio del producto $(\mathbb{C}^{\times})^{n}$, que tiene la homotopy tipo de un toro $\mathbb{T}^{n} = (S^{1})^{n}$, $V_{n} \simeq \mathbb{T}^{n}$. Del mismo modo, considerar el lugar geométrico de los puntos $V_{n,m} = \{ (z_0, \dots, z_n) \in \mathbb{C} \, | \, (z_0 \cdots z_n)^{m} = 1 \}$ Ya que hay $m$ $m^{\text{th}}$-las raíces de la unidad, uno puede mostrar que $V_{n,m}$ es diffeomorphic a la $m$veces discontinuo de la unión de $V_{n} \cong (\mathbb{C}^{\times})^{n} \simeq \mathbb{T}^{n}$, $V_{n,m} \simeq \bigsqcup_{i = 1}^{m} \mathbb{T}^{n}$.

Sospecho que el homotopy tipo de locus $V_{n, (k_0, \dots, k_n)} = \{ (z_0, \dots, z_n) \in \mathbb{C} \, | \, z_0^{k_0} \cdots z_n^{k_n} = 1 \}$ arbitrarias $k_0, \dots, k_n \in \mathbb{N}$ $d = \gcd(k_1, \dots, k_n)$veces discontinuo de la unión de la de la reducción del locus $V_{n, (k_0/d, \dots, k_n/d)} = \{ (z_0, \dots, z_n) \in \mathbb{C} \, | \, z_0^{k_0/d} \cdots z_n^{k_n/d} = 1 \}$, por lo que es suficiente para considerar a aquellos espacios donde $\gcd(k_0, \dots, k_n) = 1$.

¿Cuál es la homotopy tipo de espacio $V_{n, (k_0, \dots, k_n)}$ donde $\gcd(k_0, \dots, k_n) = 1$? ¿Esta generalizar a las sumas de las monomials con variables comunes?

Answer 1

Vamos $\sigma:\mathbb{C}^{n+1}/\mathbb{Z}^{n+1}\rightarrow (\mathbb{C}^\times)^{n+1}$, $\sigma(w_0,\cdots, w_n)=(e^{2\pi iw_0},\cdots,e^{2\pi iw_n})$ ser el estándar biholomorphic mapa, $\sigma^{-1}(V_{n,(k_i)})=(k_0w_0+\cdots+k_nw_n=0)\subset \mathbb{C}^{n+1}/\mathbb{Z}^{n+1}$ que es un cociente de hyperplane en $\mathbb{C}^{n+1}$.

Ahora queremos analizar el comportamiento de $\mathbb{Z}^{n+1}$ que actúa sobre la hipersuperficie $(k_0w_0+\cdots+k_nw_n=0)\subset \mathbb{C}^{n+1}$. Para cualquier $A\in SL(n+1,\mathbb{Z})$, $A$ induce un biholomorphic mapa de $\mathbb{C}^{n+1}/\mathbb{Z}^{n+1}$ naturalmente por la multiplicación de la matriz. Por lo tanto $\sigma\circ A\circ\sigma^{-1}$ define un biholomorphic mapa de $(\mathbb{C}^\times)^{n+1}$. Así que queremos elegir un adecuado $A$ a transformar $(k_0w_0+\cdots+k_nw_n=0)$ a una forma más simple.

Si $\gcd(k_0,\cdots,k_n)=1$, entonces podemos optar $A\in SL(n+1,\mathbb{Z})$ de manera tal que la primera fila de $A$ es exactamente $(k_0,\cdots,k_n)$, lo que significa que si $A(w_0,\cdots,w_n)^t=(w_0',\cdots,w_n')^t$,$w_0'=k_0w_0+\cdots+k_nw_n$. Por lo tanto, $A\circ\sigma^{-1}(V_{n,(k_i)})=(w_0'=0)$, lo $\sigma\circ A\circ\sigma^{-1}(V_{n,(k_i)})=(z_0'=1)\cong (\mathbb{C}^\times)^{n}\subset (\mathbb{C}^\times)^{n+1}$.

Así que tenemos la conclusión: $V_{n,(k_i)}\cong(\mathbb{C}^\times)^{n}$, que implys la homotopy tipo de nuevo es $\mathbb{T}^n$.

Comentario: Aquí $V_{n,(k_i)}$ es un complejo subgrupo de $(\mathbb{C}^\times)^{n+1}$, así que podemos describir simplemente por el paso de a $\mathbb{C}^{n+1}/\mathbb{Z}^{n+1}$.