¿Recepción cuadrática mediante números de Fibonacci generalizados?

Question

Esta es una idea mía que pensé en compartir. Fijar una prima $q$ congruente con $1 \bmod 4$ y definir una secuencia $F_n$ por $F_0 = 0, F_1 = 1$ y

$\displaystyle F_{n+2} = F_{n+1} + \frac{q-1}{4} F_n.$

Entonces $F_n = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}$ donde $\alpha, \beta$ son las dos raíces de $f(x) = x^2 - x - \frac{q-1}{4}$ . Cuando $q = 5$ recuperamos los números ordinarios de Fibonacci. El discriminante de $f(x)$ es $q$ , por lo que se divide $\bmod p$ si y sólo si $q$ es un residuo cuadrático $\bmod p$ .

Si $\left( \frac{q}{p} \right) = -1$ entonces el morfismo de Frobenius $x \mapsto x^p$ intercambia $\alpha$ y $\beta$ (trabajando sobre $\mathbb{F}_p$ ), por lo que $F_p \equiv -1 \bmod p$ . Y si $\left( \frac{q}{p} \right) = 1$ entonces el morfismo de Frobenius fija $\alpha$ y $\beta$ Por lo tanto $F_p \equiv 1 \bmod p$ . En otras palabras,

$\displaystyle F_p \equiv \left( \frac{q}{p} \right) \bmod p.$

La reciprocidad cuadrática en este caso equivale a la afirmación de que

$\displaystyle F_p \equiv \left( \frac{p}{q} \right) \bmod p.$

Pregunta: ¿Alguien tiene alguna idea sobre cómo demostrar esto directamente, demostrando así la reciprocidad cuadrática en el caso de que $q \equiv 1 \bmod 4$ ?

Mi enfoque favorito es pensar en $F_p$ como contar el número de formas de embaldosar una fila de longitud $p-1$ por baldosas de tamaño $1$ y $2$ donde hay un tipo de baldosa de tamaño $1$ y $\frac{q-1}{4}$ tipos de baldosas de tamaño $2$ . El problema es que no veo, por ejemplo, una acción obvia del grupo cíclico $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ en este set. ¿Alguna idea?

Answer 1

El siguiente documento parece responder a su pregunta: P. T. Young, "Reciprocidad cuadrática mediante secuencias de Lucas" , Fibonacci Quart. 33 (1995), nº 1, 78-81.

Aquí está su Revisión de MathSciNet por A. Grytczuk:

Dejemos que $\{\gamma_n\}^\infty_{n=0}$ sea una secuencia dada de Lucas definida por $\gamma_0=0$ , $\gamma_1=1$ , $\gamma_{n+1}=\lambda \gamma_n+\mu \gamma_{n-1}$ , $n\geq 1$ , $\lambda, \mu\in{\bf Z}$ y que $q$ sea un primo impar tal que $D=(\frac{-1}q)q=\lambda^2+4\mu$ . A continuación, el autor demuestra que existe una serie de potencias formal única $\Phi$ con coeficientes enteros y término constante cero tal que (1) $\sum^\infty_{n=1}\gamma_n\Phi^n(t)/n=\sum^\infty_{n=1}(\frac nq)t^n/n$ se mantiene, donde $(\frac nq)$ es el símbolo de Legendre.
De este resultado se desprende la ley de Gauss de reciprocidad cuadrática en la siguiente forma: (2) $(\frac pq)=(\frac Dp)$ , donde $p$ , $q$ son primos Impares distintos y $D=(\frac{-1}q) q=\lambda^2+4\mu$ .

Aquí está el enlace directo al papel.