Toda la pregunta que voy a utilizar $p(T_1)$ $p(T_2)$ para denotar el 4-impulso de la pelota de béisbol a veces $T_1$ y $T_2$, $\mathbf{v}_1$ y $\mathbf{v}_2$ a representar el componente espacial de la velocidad, y $a(T_1)$ $a(T_2)$ a representar el factor de escala del Universo en estos tiempos.
La homogeneidad e isotropía del Universo significa que no importa lo que la dirección de la pelota es lanzada por un comoving observador, va a seguir una geodésica en FRW el espacio-tiempo, que es un "radial" de trayectoria en el sentido de que
\begin{equation}
ds^2 = -dT^2 + a^2(T) \: d\chi^2,
\end{equation}
y
\begin{equation}
\dot{p}_{\chi} = 0,
\end{equation}
donde $\chi$ es el FRW radial coordinar tal que $d\chi = dr/\sqrt{1-Kr^2}$ para comoving curvatura $K$, e $p_{\chi}$ es el componente de la pelota de béisbol del 4-impulso en esta dirección. El punto denota la derivada de w.r.t. en el tiempo apropiado.
Matemáticamente, esta condición en $p_{\chi}$ puede ser visto por la reducción de los índices en la ecuación geodésica $\dot{p}^a+\Gamma^a_{bc}p^bp^c=0$ y reetiquetado ficticia de los índices para obtener
\begin{equation}
\dot{p}_a = \frac{1}{2}(\partial_a g_{bc})p^bp^c.
\end{equation}
Desde la métrica aquí es independiente de $\chi$, podemos ver que $p_{\chi}$ es constante a lo largo de la línea geodésica.
De forma intuitiva, ya que el Universo se está expandiendo de distancia de cada punto, es la expansión de distancia desde el observador 1 en toda la dirección, por lo que todas las direcciones corresponden a tiros a lo largo de una trayectoria radial.
Con este conocimiento, queremos formular el problema en términos de covariante componentes de la fuerza, así que vamos a utilizar en la línea adecuada elemento masivo de béisbol,
\begin{equation}
g^{\mu \nu}p_{\mu} p_{\nu} = -m^2 = -p_T^2(T_1) + \frac{1}{a^2(T_1)} p_{\chi}^2
\end{equation}
\begin{equation}
-m^2 = -p_T^2(T_2) + \frac{1}{a^2(T_2)} p_{\chi}^2.
\end{equation}
La misa no es a baja velocidad, por lo que el uso de la especial-relativista de la masa-shell condición de $E^2 = m^2+|\mathbf{p}|^2$, obtenemos
\begin{equation}
m^2 = p_T^2(T_1) - |\mathbf{p_1}^2|
\end{equation}
\begin{equation}
m^2 = p_T^2(T_2) - |\mathbf{p_2}^2|.
\end{equation}
Sustituyendo estos $m^2$ en el elemento línea, la cancelación de la $p_T^2$ y la relación de las dos ecuaciones da
\begin{equation}
\frac{|\mathbf{p_2}^2|}{|\mathbf{p_1}^2|} = \frac{a^2(T_1) p_{\chi}(T_2)}{a^2(T_2) p_{\chi}(T_1)}.
\end{equation}
Pero como se ha discutido previamente, el $p_{\chi}$ son conservadas a lo largo de la línea geodésica, y para que cancelar! Finalmente, dado que la masa se conserva, podemos escribir la espacial momenta en términos de la distribución espacial de las velocidades como
\begin{equation}
\frac{\gamma_1 |\mathbf{v}_1|}{\gamma_2 |\mathbf{v}_2|} = \frac{a(T_2)}{a(T_1)}.
\end{equation}
Esto le da a $|\mathbf{v}_2|$ en términos de $|\mathbf{v}_1|$ como se requiere.
Esta es la foto de el tiempo en rodajas Universo debe ayudar a visualizar la situación. Las líneas rojas son los comoving observadores, la línea azul es la trayectoria de la pelota, y las flechas negras son el espacial de los componentes de la velocidad de la pelota de béisbol a veces $T_1$$T_2$.
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