Diferencial en los grupos de Lie

Question

Estoy tratando de hacer sentido de la Mentira del grupo de maquinaria y la relacionan con el cálculo.

Supongamos que $\psi(t)=\phi(s)\phi(t), s, t \in I$.

Donde $\phi(t)$ es un parámetro subgrupo de la Mentira de grupo $G$ $I$ es un intervalo abierto que contiene a $0$.

Así que tenemos $\phi: \mathbb R \to G$ (un suave homomorphism).

Ahora usando el simple cálculo nos puede encontrar el diferencial de $\psi(t)$, tratándola como una matriz, cada elemento es una función de $t$. Utilizando la anterior, y por un determinado $s$, podemos decir como es habitual en el cálculo de la $d\psi(t)=\phi(s)d\phi(t)$.

Pero si en lugar de cálculo podemos utilizar la Mentira de definiciones de grupo no puedo hacer fácilmente el sentido de la diferencial.

Basada en la definición de si $ \psi(t): \mathbb R \to G, t \in \mathbb R ,\psi(t) \in G$ (suponiendo que la estructura de grupo de la multiforme), a continuación, $d\psi(t)$ es

$d\psi(t): T_t\mathbb R \to T_{\psi(t)}G$ aquí, por definición tenemos

$d\psi(t)(v)(g)=v(g \circ \psi) \in T_{\psi(t)}G, v\in T_t\mathbb R, g\in \mathcal F(G) $

Aquí $\mathcal F$ es el conjunto de todos los lisas con un valor real de la función en $G$. Por lo $g: G \to \mathbb R$

Ahora mi pregunta es: ¿cómo podemos utilizar la definición de la diferencial en la Mentira de los grupos de decir que

$d\psi(t)=\phi(s)d\phi(t)$.

o más explícitamente,

$d\psi(t)(v)(g)=\phi(s)d\phi(v)(g)$

Answer 1

Voy a escribir $\gamma := \phi(s)$, e $L_\gamma: G\to G$ para el mapa de $x\mapsto\gamma x$. Si lo entiendo correctamente, usted está asumiendo que $G$ es una matriz del grupo, y su $\phi$ es una matriz con los coeficientes de $\phi_{ij}$ cuales son las funciones de un parámetro real $t$. A continuación, se puede comprobar que el $\dot\psi(t)\equiv(\gamma\phi)^\cdot(t) = \gamma\dot\phi(t)$, que en su notación es $d\psi(t) = \gamma d\phi(t)$.

Para la definición abstracta, como @ACuriousMind comentó, usted tiene que tener cuidado con la notación. Básicamente se está afirmando que $D_t(\gamma\phi) = \gamma D_t\phi$, pero tienes que ser más cuidadoso. Nuestra $\psi$ es la composición,$L_\gamma\circ\phi$, y por la regla de la cadena tenemos $D_t\psi = D_{\phi(t)}L_\gamma\circ D_t\phi$, de modo que lo que realmente quieren ver, es que en el caso de la matriz de los grupos de su $D_{\phi(t)}L_\gamma$ corresponde a la izquierda de la multiplicación de la matriz por $\gamma$ en la Mentira de álgebra, donde sus elementos están representados por matrices del mismo tamaño. El camino más directo para ver este es esencialmente el mismo cálculo cálculo.