¿Si las dos variables siguen una distribución bivariada normal también tiene una distribución normal multivariante?

Question

Relación de distribución bivariante y multivariante.

¿Si tenemos decir 3 variables donde las dos variables siguen una distribución bivariable normal, entonces necesariamente sigue una distribución normal multivariante?

Answer 1

He aquí un contra-ejemplo:

Vamos $X$, $Y$, $Z$ ser independiente de la normal estándar, y deje $W = |Z|\cdot \text{sign}(XY)$.

Entonces $(W,X)$, $(W,Y)$ y $(X,Y)$ son bivariante normal, pero $(W,X,Y)$ no es trivariate normal, ya que $WXY$ nunca es negativo.

Lo que sucede es que el trivariate de distribución ha sido construida de modo que la probabilidad es sólo en cuatro de los ocho octantes, de tal manera que cada uno de los cuadrantes de los pares márgenes obtiene un octante con probabilidad y un octante sin.

Para ayudar a visualizar lo que está pasando, consulte la siguiente simulación:

 x=rnorm(1000)
 y=rnorm(1000)
 z=rnorm(1000)
 w=abs(z)*sign(x*y)

Aquí están los pares de muestras:

Aquí está la muestra bivariante de distribución de $X$ $Y$ al $W$ está restringido a ser positivo:

(al $W$ está restringido a ser negativo, el $(X,Y)$ los valores están en los otros dos cuadrantes)

Y he aquí una particular proyección de la trivariate de distribución; debe, por ejemplo, ser capaz de hacer que hay una baja densidad "brecha" en la parte inferior.

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Esto puede parecer un poco artificial contraejemplo, pero no es un problema con algún extraño borde de los casos. De manera más general, la trivariate de distribución pueden ser bastante diferentes de trivariate normal, en cualquier número de suave o no-suave maneras. Lo mismo va para más de tres variables.

Cúpulas nos dan una manera de construir infinitos de estos contraejemplos con diferentes características.

Answer 2

No. En teoría, excepciones como la de @Glen_b la respuesta puede aplicar.

En la práctica, la normalidad multivariante depende en parte de cómo, precisamente, las variables siga su normal uni/bivariado de las distribuciones. Es raro que cualquier distribución real tiene exactamente cero asimetría y cero exceso de curtosis, después de todo. Por lo tanto, si usted está dando a entender que todos los bivariado de las distribuciones son normales porque no se puede rechazar la hipótesis nula de normalidad multivariante de la prueba en cada uno, el resultado de la misma prueba para las tres variables podría cruzar su umbral de rechazo si la bivariante resultados son todos los $p = .06$ e su $\alpha = .05$. Esta respuesta puede que no te importa, si ya has evitar tales problemas con las pruebas de significación de la normalidad , sin embargo, y han determinado a través de una mejor significa que las variables están distribuidos normalmente (si exactamente, o lo suficientemente cerca).

Aún así, en la práctica, uno puede encontrar que los subconjuntos de datos presentan problemáticas relaciones que en Glen_b del ejemplo. Aceptable de desviación de la normalidad bivariada, una vez mezclado con el aún limitado instancias de tales multivariante de problemas, puede superar el propósito de la tolerancia para los no-normalidad, que está obligado a comparecer en cierta medida, en la mayoría de los verdaderos datos de la muestra.