Para un finito número de factores, la suma directa y el producto directo de abelian grupos (y, más en general, de $R$-módulos) son iguales.
Sin embargo, cuando usted tiene un infinito número de sumandos o factores, las dos construcciones son diferentes. Explícitamente, el producto directo de los
$$\prod_{i\in I} A_i$$
es el conjunto de todas las funciones de $f\colon I\to \cup A_i$ $f(i)\in A_i$ por cada $i$ (usted puede pensar en ellos como el "tuplas" indexados por $i$, $i$th coordinar siendo el valor de $f(i)$).
Pero la suma directa de
$$\bigoplus_{i\in I} A_i$$
es el conjunto de todas las funciones de $f\colon I\to \cup A_i$ con:
- $f(i)\in A_i$ por cada $i$; y
- $f(i) = 0$ para todos, excepto tal vez de un número finito de $i$.
Es decir, la suma directa es el subgrupo/submódulo de el producto directo que consiste en el casi nulo elementos. Cuando hay sólo un número finito de coordenadas, diciendo: "todos son iguales a cero, excepto tal vez para un número finito de coordenadas" es lo mismo que decir nada.
Para las categorías donde el subproducto no es la suma directa (por ejemplo, cuando se trata de no-necesariamente-abelian grupos), lo que solía ser común para referirse al producto directo como el "producto cartesiano", el "irrestricto producto directo", o incluso "completar producto directo" o "completar la suma directa" (por ejemplo, Hungerford ofrece a este último como un paréntesis alternativa en la página 59); y para referirse al subgrupo de casi nulo elementos como el "producto directo restringido" o "débil producto directo" (de nuevo, el último es utilizado en Hungerford).
En la categoría de abelian grupos, de forma directa (cartesiano) el producto es un producto, en el sentido categórico: $P=\prod\limits_{i\in I}A_i$ es un grupo, equipado con homomorphism $\pi_i\colon P\to A_i$ por cada $i$ (proyecciones), con el universal, propiedad de que para cada grupo abelian $B$ con homomorphism $f_i\colon B\to A_i$ por cada $i\in I$, no existe un único $f\colon B\to P$ tal que $f_i =\pi_i\circ f$ para cada una de las $i\in I$; el mapa de $f$ se define dejando $f(b)(i) = f_i(b)$ (recordar que los elementos de la $P$ son mapas de $g\colon I\to\cup A_i$ $g(i)\in A_i$ por cada $i$; es por eso que hemos $f(b)(i)$: $f(b)$ es un mapa de$I$$\cup A_i$, lo $f(b)(i)$ es el mapa $f(b)$ evaluado en $i$).
La suma directa, por otro lado, es un subproducto en la categoría de sentido. $C=\oplus_{i\in I}A_i$ es un grupo, equipado con homomorphism $\iota_j\colon A_j\to C$ por cada $j\in I$ (el mapa que envía a $a\in A_j$ a el elemento que ha $a$ $j$th coordinar y $0$s en otros lugares), con el universal, propiedad de que para cada grupo abelian $B$ con homomorphism $g_i\colon A_i\to B$, no existe un único homomorphism $g\colon C\to B$ tal que $g_i = g\circ \iota_i$ por cada $i$.
Debido a que el conjunto de homomorphisms de un grupo abelian a otra forma un grupo abelian (bajo pointwise adición) y la composición es bilineal en virtud de esta adición, entonces se puede demostrar que cualquier objeto que es un producto para $A$ $B$ es también un subproducto de $A$ $B$ y por el contrario, cualquier objeto que es un subproducto es también un producto (Teorema 2 de la Sección VIII.2 de Categorías para el Trabajo Matemático, por Saunders Mac Lane); en particular, finito productos coinciden con finito de co-productos en la categoría de todos los abelian grupos, que es la razón por la directa del producto y de la suma directa de acuerdo cuando hay sólo una cantidad finita de los factores/sumandos.
