¿Por qué las protoboards sin soldadura se llaman "breadboards"? Llevo décadas utilizando el término, pero no pude responder a la pregunta de un estudiante sobre el nombre.
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Como alternativa a la expansión binomial, podemos deducir que $\rm\:w = (9+4\sqrt{5})^n + (9-4\sqrt{5})^n\:$ es incluso por señalando que la noción de paridad se extiende de forma única desde $\;\mathbb Z\:$ a $\:\mathbb Z[\sqrt{5}]\:$ definiendo $\rm\:\sqrt{5}\:$ para ser impar. Conjugación de espectáculos $\rm\:w'= w,\:$ por lo tanto $\rm\:w\in \mathbb Z\,$ con paridad $\rm\ {odd}^n + {odd}^n = odd+odd = even.\ $ El resto se deduce fácilmente de $\,0<9-4\sqrt{5}<1\,$ como explicó Beni. Nótese, en particular, cómo este punto de vista es un natural extensión de mayor grado de las pruebas ubicuas basadas en la paridad en $\mathbb Z.$
Alternativamente, se deduce inmediatamente del hecho de que, mod $2$ la secuencia $\rm\:w_n\:$ satisface una recurrencia mónica de coeficiente entero, y la primera $\,2\,$ (= grado) son $\equiv 0.\:$ De ahí que, por inducción, también lo sean todos los términos posteriores, a saber $\rm\ f_{n+2} \equiv\ a\ f_{n+1} + b\ f_{n} \equiv\ 0\ $ ya que por inducción $\rm\ f_{n+1},\ f_{n} \equiv 0.\: $ O, dicho de forma equivalente $\rm\:f_n \equiv 0\ $ por el teorema de la unicidad para las soluciones de las ecuaciones en diferencias (recurrencias). Como subrayo con frecuencia Los teoremas de unicidad proporcionan herramientas muy potentes para demostrar las igualdades.
Vale la pena subrayar: para las ecuaciones en diferencia (frente a las diferenciales), el teorema de la unicidad es totalmente trivial, y equivale a la inducción trivial de que si dos soluciones de un grado $\rm\:d\:$ La recurrencia de coeficientes enteros mónicos concuerda para $\rm\:d\:$ valores iniciales entonces coinciden en todos los valores posteriores; de forma equivalente, tomando diferencias, si una solución es $\:0\:$ para $\rm\:d\:$ valores iniciales entonces es idéntico $\,0$ . El paso de inducción simplemente emplea la recurrencia para elevar la igualdad desde la previa $\rm\,d\,$ como en el caso de $\rm\,d=2.$
De forma más general, lo mismo ocurre con las combinaciones entero-lineales de las raíces de cualquier ecuación de coeficiente entero mónico (es decir, las raíces enteras algebraicas), ya que también satisfarán una recurrencia de coeficiente entero mónico, es decir, la ecuación característica asociado al polinomio que tiene dichas raíces (el caso cuadrático es el ampliamente estudiado Secuencia de Lucas ). Así, cada término de la secuencia será divisible por $\rm\:m\:$ si es verdadera para la primera $\rm\:d\:$ (= grado) términos. De forma más general, se comprueba fácilmente que el gcd de todos los términos es simplemente el gcd de los valores iniciales.
Obsérvese que, como en el caso anterior, sólo se requiere el conocimiento de la existencia de tal recurrencia. No es necesario calcular explícitamente los coeficientes de la recurrencia, sino que sólo se emplea su grado.
Mark Harrison
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En su día, los circuitos se construían a menudo enroscando los componentes en clavos clavados en piezas planas de madera que se parecían (¿o eran?) a tablas de pan.
Hay un bonito vídeo de demostración de la gente de Make Magazine aquí:
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=HrG98HJ3Z6w
kekoav
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