inversible matrices conectados o no

Question

La pregunta "Es el conjunto de todos los $3\times3$ real invertible matrices conectado?"

Mi idea intuitiva es que podemos establecer una separación que consiste en matrices con el positivo y el negativo determinante respectivamente, cuya unión de todo el conjunto, pero con ninguna de las intersecciones. Sin embargo no estoy seguro de cómo mostrar la intersección de un conjunto con el cierre de el otro conjunto es vacío, de acuerdo a la definición de ser desconectado. (Mi conjetura es que el cierre real de las matrices negativas determinante es sólo propio de la unión de las matrices con 0 determinante)

Entonces, ¿qué va a ser de una rigurosa prueba de ello, sólo el uso de herramientas en el punto establecido de la topología y de conocimientos en álgebra lineal?

Sé que $3\times3$ matrices pueden ser vistos como homeomórficos a $\mathbb{R}^9$, pero ¿cómo podemos definir la topología de este subespacio (es decir, el conjunto de todos los $3\times3$ matrices)? Lo que será un conjunto abierto en esta topología?

Answer 1

1. La imagen de un subconjunto conectado bajo un mapa continuo está conectada.
2. El determinante es sobreyectiva continua mapa $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*$.
3. El % de espacio $\mathbb{R}^*$no está conectado.

Ahora la conclusión. :)

Por cierto, uno puede demostrar eso $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})^+ = \{A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) : \det(A)>0\}$ está conectado y $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})^-$, por lo que $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ tiene dos componentes conectados. Pero se conecta $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$.

Answer 2

El conjunto de matrices es invertible abierto.

Para ver esto, en primer lugar tenga en cuenta que si $\|\cdot\|$ es un subconjunto multiplicativo de la norma, y $\|X\| <1$, entonces la serie $\sum_{n=0}^\infty \|X^n\|$ es limitado y por lo que la matriz de $Y=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nX^n$ está bien definido. Es fácil comprobar que $Y(I+X) = I$, y así la matriz $\|I+X\|$ es invertible. A destacar, si se "perturbar" la identidad de $I$ por un importe$X$, $I+X$ es invertible cuando $\|X\|<1$.

Ahora supongamos $A$ es invertible. A continuación,$A+X = A(I+A^{-1} X)$, por lo tanto, si $\|A^{-1} X\| < 1$, podemos ver que $A+X$ es invertible. En particular, si $\|X\| < {1 \over \|A^{-1}\| }$, $A+X$ es invertible. Por lo tanto el conjunto de matrices es invertible abierto. (Yo soy implícitamente con el hecho de que todas las normas sobre finito-dimensional espacios son equivalentes, por lo que la norma particular utilizado no importa).

Si el conjunto de invertir matrices se ha conectado, entonces ya abierto, esto implicaría ruta de acceso conectados.

Por lo tanto podríamos conectar $A$ $-A$por algún camino, pero ya que se trata de una $3 \times 3$ matriz, tenemos $\det (-A) = - \det A$, por lo tanto, en algún punto de la ruta pasa por cero (por continuidad).

(Un análisis más detallado, ver Cómo muchos de los componentes conectados a no $\mathrm{GL}_n(\mathbb R)$? por ejemplo, muestra que hay exactamente dos componentes conectados.)

Answer 3

$$\det(\mathbb{R}\setminus\{0\})^{-1}=\underbrace{\det(\langle-\infty;0\rangle)^{-1}}_{A}\cup\underbrace{\det(\langle0:\rangle)^{-1}}_{B}$$

$\det()$ Es continuo, $A,B$ son dos conjuntos abiertos, no vacíos, desune en herencias, así $\det(\mathbb{R}\setminus\{0\})^{-1}$ se desconecta.

Answer 4

Con respecto a la petición de Luis Felipe VillavicencioLopez de una fuente fiable: una prueba puede encontrarse en Frank W. Warner, fundamentos de variedades diferenciables y grupos de mentira, teorema de 3.68 (Página 131 en mi copia).