Categorías Equivalentes

Question

Nunca he trabajado realmente con teoría de categorías antes y estoy buscando usarla para clasificar de alguna manera parte de mi trabajo. En particular, estoy tratando de determinar si dos categorías dadas, digamos $\mathcal{C}_{1}$ y $\mathcal{C}_{2}$, son equivalentes o no. ¿Hay alguna manera eficiente de hacer esto?

Obviamente, si defino un funtor $F:\mathcal{C}_{1}\rightarrow\mathcal{C}_{2}$, entonces puedo verificar si es una equivalencia de categorías (ya sea usando la definición, o verificando si $F$ es completo, fiel y si cada elemento de $\mathcal{C}_{2}$ es la imagen isomorfa de un elemento de $\mathcal{C}_{1}$), pero esto depende de definir el funtor $F. ¿Hay algún método para determinar si dos categorías son equivalentes / no equivalentes sin definir ningún funtor?

Edit/Motivación: El caso con el que estoy tratando implica intentar ver si, dados dos complejos simpliciales $\Delta_{1}\subseteq\Delta_{2}$ con una acción $G$ asociada para algún grupo $G$, la categoría de prehaces definida en $\Delta_{1}$ y la categoría de prehaces definida en $\Delta_{2}$ son equivalentes (consultar el artículo de Ronan y Smith para obtener detalles sobre los prehaces). La motivación surge del hecho de que existe una noción de complejos simpliciales siendo homotópicamente equivalentes bajo $G$, y estoy tratando de ver si puedo generalizar esto a los prehaces.

Answer 1

Existen algunos métodos indirectos para verificar si dos categorías son equivalentes sin producir una equivalencia explícita. Por ejemplo, dadas dos categorías $C,D$, las categorías de presheaf $Hom(C^{op}, Set)$ y $Hom(D^{op}, Set)$ son equivalentes si, y solo si, los envolventes de Karoubi de $C$ y $D$ son equivalentes. Entonces, si las categorías en las que estás interesado son categorías de presheaf, puedes intentar encontrar las categorías de indexación, calcular sus envolventes de Karoubi y (como puede suceder) esperar que estos sean claramente equivalentes. Todas estas nociones son bien conocidas, así que una búsqueda rápida del término envolvente de Karoubi te proporcionará muchos resultados relevantes (por ejemplo, http://ncatlab.org/nlab/show/Karoubi+envelope).

Esta situación se extiende a categorías base distintas a $Set$, pero esto es algo menos conocido y menos desarrollado.

Relacionado con eso, si tus categorías surgen ya sea como álgebras para monads o como álgebras para operads, puedes intentar mostrar que los monads (resp. operads) deben dar lugar a categorías de álgebras equivalentes. No hay mucha maquinaria para hacer eso, pero las técnicas del negocio del envolvente de Karoubi se pueden extender en cierta medida a los monads y operads.

Todavía en el mismo ámbito pero de manera más general, si tus categorías surgen como modelos para teorías de Lawvere, entonces puedes intentar aplicar las técnicas generales de la teoría de las teorías de Lawvere a tus categorías.

Si tus categorías admiten una representación agradable en términos de generadores y relaciones, por supuesto puedes intentar mostrar que los generadores de una categoría dan lugar a los generadores de la otra, y viceversa, y que las relaciones coinciden esencialmente.

Dos categorías pueden demostrarse como equivalentes al mostrar que las categorías surgen como localizaciones de dos categorías Quillen equivalentes.

Si puedes demostrar que cada una de tus categorías es una solución universal al mismo problema en $Cat$, entonces deben ser isomorfas. De manera similar, si puedes demostrar que cada una de tus categorías es una solución universal débil al mismo problema en $Cat$ como una 2-categoría, entonces deben ser equivalentes.

Eso es todo lo que puedo pensar en este momento. Sería de gran ayuda saber en qué categorías estás interesado.

Addendum después de editar la pregunta original: Sin duda, intenta ver si las oposiciones de tus categorías de indexación son Karoubi equivalentes entonces. Las categorías de presheaf son equivalentes si las categorías de indexación son Karoubi equivalentes, por lo que transfieres completamente el problema a las categorías de indexación. Calcular el envolvente de Karoubi típicamente no es tan difícil.

Answer 2

Los isomorfismos entre objetos conducen a una relación de equivalencia en los objetos. El esqueleto de una categoría $\mathcal{C}$ es moralmente el cociente de $\mathcal{C}$ por esta relación. Dos categorías son equivalentes si y solo si tienen esqueletos isomorfos (capítulo IV.4. del libro de Saunders Mac Lane), puedes intentar verificar si $\mathcal{C}_{1}$ y $\mathcal{C}_{2}$ tienen esqueletos isomorfos.

Answer 3

Para determinar que dos categorías no son equivalentes, una estrategia sensata es ver si puedes encontrar una propiedad categórica que una cumple y la otra no. Esta es la misma estrategia que usarías para determinar si dos grupos son isomorfos o no (por ejemplo un grupo abeliano y un grupo no abeliano no son isomorfos), si dos espacios topológicos son equivalentes o no (por ejemplo un espacio conectado y un espacio desconectado no son equivalentes), etc.

El tipo de propiedades categóricas depende en gran medida del tipo de categorías que estés analizando, pero algo general a tener en cuenta cuando tus categorías se parecen a "categorías de objetos matemáticos" es la existencia de varios tipos de límites y colímites.

Si sospechas fuertemente que tus categorías son equivalentes, me parece que el enfoque más limpio sería construir una equivalencia entre ellas, aunque de nuevo eso depende del tipo de categorías que estés analizando.

Nota que este problema contiene, digamos, el problema de isomorfismo para monoides como un subproblema. Así que realmente deberías especificar qué tipo de categorías estás analizando.