Tengo una pregunta con respecto conjunto de Cantor dado a mí como una tarea de la pregunta (bueno, parte de ella):
una. Probar que el único de los componentes conectados de conjunto de Cantor son los singleton $\{x\}$ donde $x\in C$
b. Demostrar que $C$ es metrizable
Estoy teniendo algunos problemas con este ejercicio:
Mis pensamientos acerca de la $a$:
Sé que, en general, la ruta de conexión y la conexión no equivalente, pero sé que$\mathbb{R}$ es la ruta de acceso conectado, quiero para decir algo así como que desde el si $\gamma(t):C\to C$ continúa a continuación, $\gamma(t)\equiv x$ algunos $x\in C$ entonces tenemos que la los componentes conectados de $C$ puede ser sólo la singltons.
Pero me carecen de cualquier justificación: la conectividad y la ruta de acceso de la conexión no son la misma cosa -, pero tal vez desde $\mathbb{R}$ es la ruta de acceso conectado podemos justificar de alguna manera que si $C$ tenían algún componente conectado, a continuación, también es la ruta de acceso conectado ? otra cosa que me confunde es que el abierto de conjuntos relativos a $C$ y relativa a $\mathbb{R}$ no de la misma manera también estoy teniendo un problema de trabajar con la definición de cuando un espacio se llama conectado
Mis pensamientos acerca de b:
Myabe hay algo que no entiendo - pero, ¿no $C$ metrizable ya que es un subespacio de un $[0,1]$ con la topología que viene de la norma métrica en $\mathbb{R}$ ?
Agradecería cualquier explicaciones y ayuda con este ejercicio!
