Si una función $f(x)$ se expresa como una serie de Fourier y sabemos $f'(x)$. ¿Entonces es cierto que si diferenciamos la expresión de Fourier debemos conseguir $f'(x)$? ¿Por ejemplo si $f(x)=x^2$ $x\in [0,\pi]$ que extiende a una serie de seno o coseno entonces puede concluir que la diferenciación del término por término de la expresión da % o $2x$ $2|x|$respectivamente? Tengo una corazonada de que es así, pero puedo equivocarme. Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí un ejemplo para comenzar a pensar en donde algunas dificultades pueden mentir. Vamos a pensar en el siguiente "diente de sierra función": $$ s(x) = x - 1/2\qquad (\mbox{para } 0 \le x < 1) $$ ampliado periódicamente a $\mathbb{R}$ mediante el establecimiento $s(x+n) = s(x)$ todos los $n \in \mathbb{Z}$.
Usted puede calcular directamente el $s(x)$ tiene las siguientes (no absolutamente convergente) y la serie de Fourier: $$ \frac{-1}{2 \pi i} \sum_{n \ne 0} \frac{1}{n}e^{2\pi i n x}. $$ Es lógico pensar acerca de diferenciar $s$ lejos de los números enteros, donde se espera obtener $s'(x) = 1$. Pero si hemos de diferenciar la expresión anterior término por término, nos encontramos con la siguiente expresión, que en realidad no tiene mucho sentido: $$ -\sum_{n \ne 0} e^{2 \pi i n x} =\ ??? $$
El chiste aquí es que las cosas pueden ser más sutil más rápido cuando se trata con series de Fourier, y rápidamente lleva a cosas como espacios de Sobolev y distribuciones.
Resulta que el buen hipótesis usted desea en una serie de Fourier $\sum c_n e^{2\pi i n x}$ $k$veces termwise diferenciable es para los coeficientes de Fourier para ser "adecuadamente" pequeño " en el siguiente sentido: si $$ \sum |c_n|\cdot|n|^k < \infty $$ se sostiene por algunos $k$, entonces la función representada por la serie de Fourier se $k$-veces diferenciable, y será diferenciable termwise. Si esto es válido para todas las $k$, entonces la función es suave.
Mi referencia de esta es Paul Garrett, con la obra "Funciones" en Círculos", que se puede encontrar en su sitio web.
