¿Puedes reducir una desigualdad tomando una derivada?

Question

Si tengo algo de igualdad $f(x) < g(x)$ que quiero demostrar que es verdadera en algún intervalo acotado para $x$ ¿puedo tomar la derivada con respecto a $x$ ¿en ambos lados? Entonces, si puedo reducir eso al punto en que es obviamente cierto sobre los límites en cuestión de $x$ ¿eso demuestra el caso original? Conozco los límites de $x$ para $f'(x) < g'(x)$ no son los mismos que para $f(x) <g(x)$ ¿pero son siempre menos restrictivas en el caso derivado, lo que le permite hacer implicaciones para el caso no derivado?

Answer 1

Considere las funciones $f(x)=2x$ y $g(x)=3x+c$ . Claramente $f'(x)=2<3=g'(x)$ en todas partes. Por otro lado, $g(x)<f(x)$ si y sólo si $x<c$ Así que si quieres tener $g(x)<f(x)$ en $[a,b]$ , solo toma $c>b$ . Por tanto, en todo intervalo acotado hay un contraejemplo fácil.

Answer 2

Si $[a, b]$ es algún intervalo, $f(a) < g(a)$ y $f'(x) \le g'(x)$ en el intervalo, entonces $f(x) < g(x)$ en el intervalo (ejercicio). Esta implicación no puede invertirse; considere $[a, b] = [0, 10], f(x) = 20 - x, g(x) = x$ .