Supongamos que diverge de $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ y $b_n\gt 0$, muestran que la serie $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n}{1+b_n}$ también diverge

Question

Como dice el título, teniendo en cuenta una serie $b_n > 0$, donde $\sum_{n=1}^\infty b_n$ es divergente:

Mostrar que la serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{1+b_n}$ $ también es divergente.

Por lo que yo he definido la serie $\sum_{n=1}^\infty u_n v_n$ donde $u_n = b_n$ y $v_n = \frac {1}{1+b_n}$.

Estoy seguro que hubo algún tipo de prueba de convergencia que estipulaba que para un producto de dos series, si uno diverge el todo lo hace, sin embargo que podría ser equivocado. Si es así, ¿cómo correctamente demostrar esto?

Answer 1

Si la secuencia $(b_n)$ es ilimitada, es mayor que $\frac{b_n}{1+b_n}$ para infinitamente muchos $\frac{1}{2}$ $n$. En particular $\frac{b_n}{1+b_n}$ no tiene límite $0$, y por lo tanto, diverge la serie $\sum \frac{b_n}{1+b_n}$.

Si por el contrario la secuencia $(b_n)$ está limitado arriba por $B$, entonces el $\frac{b_n}{1+b_n}\ge \frac{1}{B+1}b_n$ % todo $n$, así que en comparación la serie $\sum \frac{b_n}{1+b_n}$ diverge.