Demostrar$e^n$ y$\ln(n)$, mod 1, para$n=2,3,4...$ es denso en$[0,1]$

Question

¿Cómo se puede demostrar$e^n$ y$\ln(n)$, módulo 1, son densos en$[0,1]$, para$n=2,3,4...$?

Por densa se entiende, para cualquier$0<a<b<1$, no es un número entero$m$ tal que$0<a<f(m) mod 1<b<1$

Answer 1

Ellos no están distribuidos de manera uniforme, lo que significaría, por ejemplo, $$\lim_{n\to\infty} \frac{|\{k<n\colon f(n)<a\}|}n=a\quad\text{for all }a\in[0,1].$$ Por ejemplo, entre la $e^M$ $e^{M+1}$ hay alrededor de $e^{M+1}-e^{M+\frac12}$ números de $n$ $\ln(n)\bmod 1>\frac 12$ $e^{M+\frac 12}-e^{M}$ números de $n$$\ln(n)\bmod 1<\frac 12$. Estos recuentos se difieren por un factor de $\sqrt e$, y que será la proporción relativa de las más grandes de la gama de $n$ uno de los cheques se convierte.

Pero son densos en $[0,1]$ y que es la propiedad que usted está buscando (como se refleja en la edición de la pregunta).

Para el logaritmo: Vamos a $\epsilon>0$ ser dado. Encontrar $N$ tal que $\frac1N<\epsilon$. A continuación, $0<\ln(n+1)-\ln n<\frac1n<\epsilon$ todos los $n>N$ (debido a que la derivada de $\ln$ es el recíproco). Por lo tanto, los números de $\ln n\bmod1$ $N<n<e N+1$ de aciertos de cada subinterval de longitud $\epsilon$.

Para la exponencial es un poco más difícil.

Answer 2

No sé para$e^n$, pero para$\log(n)$ de módulo 1, no se distribuye de manera uniforme, de acuerdo con http://en.wikipedia.org/wiki/Equidistributed_sequence .