Es el tensor de Poisson asociada a una forma simpléctica invariante izquierda, también dejó invariable?

Question

Dada la izquierda invariante simpléctico forma$\omega$ en un grupo de Lie$G$, el tensor de Poisson asocia a$\omega$ está dada por$$\pi(df,dg)=\omega(X_f,X_g)$ $ donde$X_f$ es el vector hamiltoniano campo asociado a la función$f$; $i_{X_f}\omega=-df$.

Me gustaría comprobar si el tensor de Poisson$\pi$ también se deja invariante o no?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Sí, también es izquierda-invariante. Este debe ser claro intuitivamente desde $\pi$ es sólo $\omega$ bajo el isomorfismo $T^*M \to TM$ instalación por $\omega$. Para ver este rigurosamente deje $h\in G$ y deje $L_h$ denotar a la izquierda de la multiplicación por $h$. Entonces $$ (L_h^* \pi) (df, dg) = \pi(L_{h^{-1}}^* df, L_{h^{-1}}^* dg) = \pi( d(f\circ L_{h^{-1}}), d(g\circ L_{h^{-1}})) = \omega(X_{f\circ L_{h^{-1}}}, X_{f\circ L_{h^{-1}}}). $$ Pero $X_{f\circ L_{h^{-1}}}$ se caracteriza por $\omega(X_{f\circ L_{h^{-1}}},V) = d(f\circ L_{h^{-1}})(V) = (L_{h^{-1}}^* df)(V) = df({L_{h^{-1}}}_* V) = \omega(X_f, {L_{h^{-1}}}_* V) = \omega({L_h}_* X_f, V)$, donde esta última parte que sigue de la izquierda invariancia de $\omega$. Por lo tanto,$X_{f\circ L_{h^{-1}}} = {L_h}_* X_f$. Poner esto en la ecuación anterior vemos $$ (L_h^* \pi)(df,dg) = \omega({L_h}_* X_f, {L_h}_* X_g) = \omega(X_f,X_g) = \pi(df,dg). $$