Cómo organizar $e^3,3^e,e^{\pi},\pi^e,3^{\pi},\pi^3$ en el orden creciente?

Question

Para estos seis números, $e^3,3^e,e^{\pi},\pi^e,3^{\pi},\pi^3$ ¿Cómo ordenarlos en el orden creciente?

Este problema está sacado de la prueba de hoy: Prueba Nacional de Acceso a la Educación Superior.

Creo que podemos considerar $$f(x)=\dfrac{\ln{x}}{x}$$

o tal vez otros métodos, así que espero ver otros métodos para resolver este problema. Gracias.

Answer 1

Empezamos asumiendo que de alguna manera sabemos que $$ \color{green}{e < 3 < \pi}$$ . Esto da inmediatamente las relaciones \begin {align*} \color {azul}{e^3 }& \color {azul}{< e^ \pi < 3^ \pi } \\ \color {azul}{3^e }& \color {azul}{< \pi ^ e < \pi ^3} \end {align*} A continuación, podemos considerar $$f(x) = \frac {\ln x}x$$ como usted dijo.

Diferenciando con respecto a $x$ tenemos $$ f'(x) = -\frac{\ln x}{x^2} +\frac 1 {x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2} < 0\quad \forall x > e.$$

Por lo tanto, para los valores de $x$ más grande que $e$ esta función es decreciente, lo que da

\begin {align*} \frac { \ln 3}{3} &> \frac { \ln \pi }{ \pi } & \implies\\ \pi \ln 3 &> 3 \ln \pi & \implies\\ \color {azul}{3^ \pi } & \color {azul}{> \pi ^3}, \end {align*} y de manera similar $\color{blue}{e^3 > 3^e}$ y $\color{blue}{e^\pi > \pi^e}$

Las dos desigualdades que nos quedan son $e^\pi$ contra. $\pi^3$ y $\pi^e$ contra. $e^3$ . Están tardando más de lo que pensaba...

Editar, algunos años después. (Estaba navegando por MSE y me encontré con esta pregunta de nuevo).

Supongamos que podemos demostrar que $\color{green}{6 > e + \pi}$ . Entonces podemos mostrar lo siguiente:

\begin {align*} 6 &> e + \pi & \Leftrightarrow \\ 3 - e &> \pi - 3 & \Leftrightarrow \\ 3 \cdot\left [1 - \frac {e}{3} \right ] &> \pi - 3 & \Leftrightarrow \end {align*}

Para todos $x > 0$ tenemos $\log x > 1 - \frac{1}{x}$ . De lo anterior se desprende que $3 \log(3/e) > 3\cdot\left[1 - \frac{e}{3}\right] > \pi - 3$ . Por lo tanto, tenemos

\begin {align*} 3 \log (3/e) &> \pi - 3 & \Leftrightarrow\\ 3 \log (3) &> \pi & \Leftrightarrow\\ 3 ^{3} &> e^{ \pi }. \end {align*}

Desde $\pi^3 > 3^3$ concluimos que $\pi^3 > e^{\pi}$ . Para verificar la desigualdad inicial, podemos elegir nuestros límites superiores favoritos para $e$ y $\pi$ . Arquímedes $\pi < {22}/{7}$ hará para $\pi$ mientras que para $e$ podemos utilizar el hecho de que

$$ e = 3 - \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k!(k-1)k} < 3 - \frac{1}{4}. $$

Para la última desigualdad, empezamos mostrando que $\color{green}{\pi > \frac{e^2}{2e - 3}} \implies \color{blue}{\pi^e > e^3}$ siempre y cuando $\color{green}{2e > 3}$ :

\begin {align*} \pi &> \frac {e^2}{2e - 3} & \Leftrightarrow \\ \left (2e - 3 \right ) \pi &> e^2 & \Leftrightarrow \\ - \frac {e^2}{ \pi } + e &> 3 - e & \Leftrightarrow\\ e \left (1 - \frac {e}{ \pi } \right ) &> 3 - e. \end {align*} Ahora utilizamos el mismo truco que antes, que para todo $x$ , $\log x > 1 - \frac{1}{x}$ \begin {align*} e \left (1 - \frac {e}{ \pi } \right ) &> 3 - e & \Rightarrow \\ e \log { \pi }/{e} &> 3-e & \Leftrightarrow\\ e \log \pi &> 3 & \Leftrightarrow\\ \pi ^e &> e^3. \end {align*}

Para terminar, sólo tenemos que mostrar la desigualdad inicial. La función $f : x \mapsto \frac{x^2}{2x -3}$ es decreciente para $\frac{3}{2}<x<3$ por lo que necesitaremos un límite inferior para $e$ . De la serie $e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$ vemos $e > {8}/{3}$ . Para $\pi$ necesitamos un límite inferior, y podemos volver a canalizar a Arquímedes, que demostró $\pi > \frac{223}{71}$ . Entonces tenemos

\begin {align*} \pi > \frac {223}{71} & \operatorname {?} \frac { \frac {64}{9}}{ \frac {16}{3} - 3} > \frac {e^2}{2e-3} \\ \pi > \frac {223}{71} & \operatorname {?} \frac {64}{21} > \frac {e^2}{2e-3}, \end {align*} y la conclusión es la siguiente. La ordenación final de los seis números es, por tanto, la siguiente $\color{blue}{3^e< e^3 < \pi^e < e^\pi < \pi^3 < 3^\pi}$ .

Como curiosidad, hemos utilizado varias de las propiedades de $e$ y $\log$ durante las derivaciones, por lo que una estimación incorrecta de $e$ podría fácilmente desviar el orden. Sin embargo, no hemos utilizado ninguna de las propiedades específicas de $3$ o $\pi$ . Por lo tanto, para cualquier número $x$ , $y$ , de tal manera que

\begin {align*} e &< x < y, \\ \frac {e^2}{2e - y} &< x < 2 y - e, \\ y &< 2e, \end {align*}
el pedido $x^e< e^x < y^e < e^y < y^x < x^y$ se mantendrá.

Answer 2

$\bf{My\; Solution\; for \; e^{\pi}\; and \; \pi^e}$

Utilizando $\displaystyle e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...............+\infty > 1+x\; \forall x>0$

Así que $e^x > 1+x$ para $x>0$

Poner ahora $\displaystyle x = \left(\frac{\pi}{e}-1\right)>0$

Así que $\displaystyle e^{\frac{\pi}{e}-1}>1+\frac{\pi}{e}-1\Rightarrow \frac{e^{\frac{\pi}{e}}}{e}>\frac{\pi}{e}\Rightarrow e^{\pi}>\pi^e$