Se puede mover un punto en un espacio métrico finito dado para obtener un espacio métrico con distancias racionales?

Question

mi pregunta es la siguiente: Supongo finita de espacio métrico $A:=\{a_0,..,a_n\}$ con distancias en los reales.

Asumir una arbitraria $\epsilon>0$. Es posible encontrar algunos de 1 punto métrica extensión de $A$, decir $B:=A\cup\{b_0\}$ de manera tal que el siguiente se tiene:

$d(b_0,a_0)<\epsilon$ $d(b_0,a_i)\in\mathbb{Q}$ todos los $i=1,..,n$?

No estamos trabajando en algunos de los grandes determinado espacio métrico, por lo que cualquier resumen de espacio métrico $B$ con las propiedades descritas va a trabajar para mí. He perdido la cuenta entre todos el triángulo de las desigualdades...

Muchas gracias de antemano por considerar la cuestión.

Answer 1

Sí, usted puede hacer esto. Deje $m=\min_{i\ge 1} (a_i,a_0)$$M=\max_{i\ge 1} (a_i,a_0)$. Elija $d(b_0,a_0)<\min(\epsilon,m)$. Usted necesitará una función de $f:[m,M]\to [0,d(b_0,a_0)]$ tal forma que:

1. $f$ es la disminución de la
2. $x\mapsto x+f(x)$ es el aumento de
3. $x+f(x)\in \mathbb Q$ al $x=d(a_i,a_0)$ algunos $i=1,\dots,n$.

Construir una función, comienzan con $x\mapsto d(b_0,a_0)-c(x-m)$ donde $c>0$ es pequeño, y un poco de perturbar a los puntos de $x=d(a_i,a_0)$, manteniendo un modelo lineal por tramos en el medio.

Para $i\ge 1$, definir $$d(b_0,a_i) = d(a_0,a_i)+f(d(a_0,a_i)) $$ La racionalidad está construido en (propiedad 3). Vamos a ver el triángulo de las desigualdades que implican $b_0$. En todas partes por debajo de $i,j\ge 1$.

1. $d(b_0,a_0)\le d(b_0,a_i)+d(a_0,a_i)$ mantiene debido a $d(b_0,a_0)<m\le d(a_0,a_i)$.
2. $d(a_0,a_i)\le d(a_0,b_0)+d(a_i,b_0)$ mantiene debido a $f\ge 0$
3. $d(b_0,a_i)\le d(b_0,a_0)+d(a_i,a_0)$ mantiene debido a $f\le d(b_0,a_0)$.

4. $d(b_0,a_i)\le d(b_0,a_j)+d(a_i,a_j)$ está separado en dos casos:

   • al $d(a_0,a_i)\le d(a_0,a_j)$, esto es por 2, incluso en la forma más fuerte $d(b_0,a_i)\le d(b_0,a_j)$
   • al $d(a_0,a_i)\ge d(a_0,a_j)$, esto es por 1: agregar las desigualdades $d(a_0,a_i)\le d(a_0,a_j)+d(a_i,a_j)$$f(d(a_0,a_i))\le f(d(a_0,a_j))$.

Answer 2

Por reescalado si es necesario, hacer que todos los no-cero distancias en $A$ mayor que $100$, y hacer que los valores absolutos de las diferencias de las distintas distancias superiores a $100$. Esto no es particularmente importante, pero ayuda en la visualización.

Elegir un entero positivo $M$ tal que $\frac{1}{M}\lt \epsilon$, y declarar la distancia de $b_0$$a_0$$\frac{1}{M}$.

La línea de $a_1,a_2, \dots$ en no-orden creciente de sus distancias de $a_0$. Tenga en cuenta que puede haber lazos.

Consideremos, en primer lugar simultáneamente todos los $a_i$ que están a una distancia máxima de $a_0$. Si $a_i$ es un punto de declarar la distancia de $b_0$ $a_i$ a de ser algún número racional $r$ en el intervalo de $d(a_0,a_i)+\frac{1}{(n+1)M}\lt r\lt d(a_0,a_i)+\frac{1}{nM}$.

Continuar de esta manera, la próxima vez que mediante el ajuste de la $\frac{1}{nM}$$\frac{1}{(n-1)M}$, y así sucesivamente.

El triángulo de la desigualdad: Hay tres tipos de triángulo que tiene $b_0$ como un vértice. El triángulo podría tener (i) los vértices $b_0,a_0,a_i$ o (ii) los vértices $b_0,a_i,a_j$ donde $d(a_0,a_i)=d(a_0,a_j)$ o (iii) los vértices $(b_0, a_i,a_j)$ donde $d(a_0,a_i)\ne d(a_0,a_j)$.

Tipo (i): la elección de las distancias, $b_0a_i$ es el lado más largo, y $d(b_0,a_i)\lt d(a_0,b_0)+d(a_0,a_i)$.

Tipo (ii): lado Largo $a_ia_j$ es ningún problema, ya que este lado tiene una longitud de $\le d(a_0,a_i)+d(a_0,a_j)$, y tenemos $d(b_0,a_j)\gt d(a_0,a_j)$.

Y el lado largo $b_0a_i$ definitivamente no es un problema, ya que el $d(b_0,a_j)=d(b_0,a_i)$.

Tipo (iii): de Nuevo, lado largo igual a $a_ia_j$ no es un problema, desde el triángulo de la desigualdad en $A$.

Supongamos que el lado largo es $b_0a_i$. Por nuestra primera escala, de este lado largo es mucho más de $b_0a_j$. Por la extensión de la distancia de a$b_0$,$d(b_0,a_i)-d(a_0,a_i)\lt d(b_0,a_j)-d(a_0,a_j)$. De ello se sigue que $$d(b_0,a_i)\lt d(b_0,a_j)+d(a_0,a_i)-d(a_0,a_j)\le d(b_0,a_j)+d(a_i,a_j).$$