Hace$f$ existe tal que$f(1)<0 , f(5)>3 $ y$ f'(x)\le e^{-f(x)}$

Question

¿Existe una función continuamente diferenciable$f:[1,5]\rightarrow\mathbb{R}$% tal que $f(1)<0 , f(5)>3$y$f'(x)\le e^{-f(x)}$?

Mi intento: Si tales$f$ existe el teorema de valor medio:$\exists c \in(1,5) :$

ps

Ahora

ps

y

ps

Por lo tanto

ps

ps

Este resultado dosis no en el buen contradicción que estaba buscando, existe una función de este tipo?

Answer 1

Supongamos que tenemos la dicha$f$. Dejar $g(x)=e^{f(x)}$. Entonces$g(1)<1$,$g(5)>e^3>2^3=8$, de ahí$g'(x)>\frac74>1$ para algunos$x\in(1,5)$. Pero $g'(x)=f'(x)\cdot\underbrace{e^{f(x)}}_{>0}\le e^{-f(x)}e^{f(x)}=1.$

Answer 2

Cada solución$f$ es tal que$f'(x)\mathrm e^{f(x)}\leqslant1$ de ahí$\mathrm e^{f(x)}-\mathrm e^{f(1)}\leqslant x-1$ por cada$x\geqslant1$, es decir, $$ f (x) \ leqslant \ log (x-1 \ mathrm e ^ {f (1)}). Si $$$f(1)\lt0$, se obtiene$f(x)\lt\log x$ por cada$x\geqslant1$. Desde$\log5\lt1.61$,$f(5)\gt1.61$ es imposible.