interepretation probabilística matemática de la amplitud de probabilidad

Question

Como una advertencia, yo vengo de una "matemáticas aplicadas" de fondo con casi ningún conocimiento de la física. Dicho esto, aquí está mi pregunta:

Estoy mirando la posibilidad de la utilización de probabilidad de la amplitud de funciones para representar las distribuciones de probabilidad sobre las superficies. Desde mi punto de vista, una probabilidad de la amplitud de la función es una función de $\psi:\Sigma\rightarrow\mathbb{C}$ satisfacción $\int_\Sigma |\psi|^2=1$ para algunas dominio $\Sigma$ (por ejemplo, una superficie o una parte de $\mathbb{R}^n$)-- obviamente estos son algunos de los principales objetos que se manipulan en la física cuántica! En otras palabras, $\psi$ es una función compleja tal que $|\psi|^2$ es una función de densidad de probabilidad en $\Sigma$.

A partir de este puramente probabilístico punto de vista, es posible entender por qué los múltiples $\psi$'s puede representar la misma densidad de probabilidad $|\psi|^2$? ¿Cuál es el más genérico interpretación física?

Es decir, si escribo cualquier función de $\gamma:\Sigma\rightarrow\mathbb{C}$$|\gamma(x)|=1\ \forall x\in\Sigma$,$|\psi\gamma|^2=|\psi|^2|\gamma|^2=|\psi|^2$, y por lo tanto $\psi$ $\psi\gamma$ representan la misma distribución de probabilidad en $\Sigma$. Entonces, ¿por qué es esta redundancia útil matemáticamente?

Answer 1

La redundancia es útil porque, al parecer, las fases tienen un significado físico, y en relación de fases de realmente hacer una diferencia en las probabilidades de que en algunas situaciones. Por ejemplo, considere la posibilidad de una versión simplificada de la dos-experimento de la rendija. Tenemos un emisor de fotones, que dispara un fotón hacia dos rendijas. Detrás de las dos rendijas es un detector, que ya sea de fuego o no de fuego. (Si no de fuego, pensamos que el fotón como de haber "perdido" el detector y ha sido absorbida por otra cosa.) También tenemos la opción de probar y detectar cual de las ranuras de los fotones pasan, o no intentar hacer esto.

Deje $E$ representan "un fotón es emitido", $D$ stand de "el detector de incendios" $S_i$ stand de "el fotón se detectó que pasa a través de la rendija $i$." Si intentamos detectar que se raja el fotón pasa a través de, la probabilidad de que el detector de cocción es de $$ p(D|E) = p(S_1|E)p(D|S_1) + p(S_2|E)p(D|S_2),$$ como se puede esperar de la teoría de probabilidad elemental. Si queremos, podemos definir formalmente un complejo número de $a(X|Y)$ para cada par de eventos, de tal manera que $p(X|Y) = |a(X|Y)|^2.$ Hay una cierta redundancia en esta definición, porque la elección de la fase da la misma probabilidad. Ahora tenemos $$ p(D|E) = |a(S_1|E)a(D|S_1)|^2 + |a(S_2|E)a(D|S_2)|^2.$$ Tenga en cuenta que esto es completamente no-notación estándar que usted no encontrará en cualquier parte, pero es perfectamente razonable manera de expresar la ruta integral de formalismo para este tipo de sistema simplificado.

Si no tratamos de detectar que se raja el fotón pasa a través de, por lo que se mantiene aislado a lo largo de su viaje, entonces es un poco diferente. Ahora resulta que en lugar de la expresión anterior tenemos $$ p(D|E) = |a(S_1|E)a(D|S_1) + a(S_2|E)a(D|S_2)|^2,$$ para algunos en particular la elección de los números de $a(S_i|E)$ $a(D|S_i)$ definido anteriormente. Tenga en cuenta que esta puede ser mayor o menor que el "clásico" $p(D|E)$, dependiendo de la relación de las fases de la $a(S_1|E)a(D|S_1)$$a(S_2|E)a(D|S_2)$. Por lo tanto, las distintas fases que conducen a los diferentes físico predicciones, y que parte de la potencia de la teoría cuántica es que no dicen realmente estos relativa de las fases.

Este argumento muestra que debe haber algunos interpretación física de las fases, pero no le dice lo que la interpretación física que realmente es. Me temo que no sé la respuesta a esa pregunta.

Answer 2

Diferentes funciones de onda con el mismo $|\psi(x)|^2$ representan diferentes estados físicos (a menos que sean proporcionales). Los diferentes estados, significa que se obtiene diferentes resultados medibles en al menos un tipo de mediciones.

El mismo $|\psi(x)|^2$ da la misma densidad de probabilidad para las medidas de posición (sólo), pero en general no es para mediciones de otras variables observables, tales como el impulso. Para el impulso de densidad de probabilidad, la absoluta plazas de la transformada de Fourier cuenta, y esto es generalmente diferente si sólo el $|\psi(x)|^2$ son los mismos.

El contenido matemático de la función de onda es la siguiente (a partir de la cual la anterior de la siguiente manera): El producto interior de $\psi$ $A\psi$ da la expectativa de valor de que el operador $A$ para un sistema en estado de $\psi$. Por ejemplo, si usted toma el $A$ a ser la multiplicación por la función característica de una región en $R^3$ usted obtiene la probabilidad de estar en esa región. La posición del operador es simplemente la multiplicación por $x$, mientras que el impulso del operador es un múltiplo de la diferenciación.

Para ir más profundo, intente con mi libro en línea http://lanl.arxiv.org/abs/0810.1019, escrito para los matemáticos sin ningún tipo de conocimientos en física.