Es$e^{i+\pi}$ irracional o no?

Question

Como sabemos que el valor de$e$,$i$ y$\pi$ son reales irracionales, ¿qué$$e^{i+\pi}\;?$ $ ¿Sigue siendo irracional (es decir, no una racional de Gauss) ? El problema me hace curioso hasta ahora.

Answer 1

Construido a partir de la respuesta de Clive, si$e^\pi \cos 1$ #% y% #% eran ambos números racionales, entonces también lo sería su cociente$e^\pi \sin 1$. Pero$\tan 1$ es irracional, como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass, debido a que el teorema implica que$\tan 1$ es trascendental, y debido$e^{2i}$. Por lo tanto$e^{2i}=\dfrac{i-\tan 1}{\tan 1+i}$ no puede tener tanto en sus partes real e imaginaria racional.

Answer 2

$e^i=\cos1+i\sin1$. (Mediante la fórmula de Euler)

Así$e^{i+\pi}=e^\pi\cos1+ie^\pi\sin1$, que no es real y, por supuesto, irracional.

Answer 3

Si te refieres racional en el sentido usual de la palabra $-$ como un subconjunto de los reales $-$ $e^{i+\pi}$ ciertamente no es racional, ya que no es real. Pero la cuestión de si es una Gaussiana racional $-$ , es decir, su real y piezas complejas son racionales $-$ puede no ser fácil de demostrar. Observe que $$e^{i+\pi} = e^{\pi}\cos 1 + i e^{\pi}\sin 1$$

Dado los números irracionales $\alpha$ $\beta$ es a menudo muy difícil determinar si $\alpha^{\beta}$ $\alpha \beta$ (e $\alpha + \beta$) son racionales o irracionales. Por ejemplo, en la actualidad no se sabe si $e\pi$ es racional o irracional.