Son todos algebraica de números enteros con valor absoluto 1 raíces de la unidad?

Question

Si tenemos un número algebraico α (complejo) valor absoluto 1, de ello no se sigue que α es una raíz de la unidad (es decir, que αⁿ=1 para algún n). Por ejemplo, (3/5 + 4/5 i) no es una raíz de la unidad.

Pero si asumimos que α es un entero algebraico con valor absoluto 1, ¿se sigue que α es una raíz de la unidad?

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Sé que si todos los conjugados de α tiene valor absoluto 1, entonces α es una raíz de la unidad por el argumento siguiente:

El polinomio mínimo de α en Z es $\prod_{i=1}^d (x-\alpha_i)$, donde el $\alpha_i$ son sólo los conjugados de α. A continuación, $\prod_{i=1}^d (x-\alpha_i^n)$ es un polinomio sobre Z con αⁿ como una raíz. También tiene grado d, y todas las raíces tienen valor absoluto 1. Pero sólo puede haber un número finito de estos polinomios (ya que los coeficientes son enteros con delimitada tamaño), por lo que tenemos que αⁿ=σ(α) para algunos Galois conjugación σ. Si σ^m(α)=α, luego α^nm=α.

Por lo tanto α^nm-1=1.

Answer 1

Deje $x$ ser un algebraica de números con valor absoluto $1$. A continuación, $x$ y su complejo conjugado $\overline{x} = 1/x$ tienen el mismo polinomio mínimo. Escrito $f(T)$ para el polinomio mínimo de a$x$$\mathbb{Q}$, con grado de $n$, los polinomios $T^nf(1/T)$ $f(T)$ son irreducibles sobre $\mathbb{Q}$ con root $\overline{x}$, por lo que los polinomios son iguales hasta un factor de escala: $$T^nf(1/T) = cf(T).$$ Setting $T = 1$, $f(1) = cf(1)$.

Asumiendo $x$ no es racional (es decir, $x$ no $1$ o $-1$), $f$ tiene un grado mayor que $1$, lo $f(1)$ es distinto de cero y por lo tanto $c = 1$. Por lo tanto $$T^nf(1/T) = f(T),$$ so $f(T)$ has symmetric coefficients. In particular, its constant term is $1$. Moreover, the roots of $f(T)$ come in reciprocal pairs (since $1$ and $-1$ are not roots), so $$ n es par.

Parcial conclusión: una expresión algebraica otro número de $1$ o $-1$ que tiene valor absoluto $1$ tiene aún grado por encima del $\mathbb{Q}$ y su mínimo polinomio tiene término constante $1$. En particular, si $x$ es un entero algebraico, entonces debe ser una unidad.

No hay ejemplos de enteros algebraicos con grado de $2$ y el valor absoluto $1$ que no son raíces de la unidad, ya que un verdadero cuadrática campo no tiene elementos en el círculo unidad, además de a$1$$-1$, y las unidades en un imaginario cuadrática campo son todas las raíces de la unidad (y en realidad sólo se $1$ $-1$ a excepción de$\mathbb{Q}(i)$$\mathbb{Q}(\omega)$). Por lo tanto el más mínimo grado de $x$ podría tener más de $\mathbb{Q}$ $4$ y hay ejemplos con grado de $4$: el polinomio $$x^4 - 2x^3 - 2x + 1$$ has two roots on the unit circle and two real roots (one between $0$ and $1$ and the other greater than $1$).

Answer 2

No. Hay algebraica de los números enteros en el círculo unidad, que no son raíces de la unidad.

Este papel por Ryan Daileda proporciona algo de información útil y referencias.

Ver también Salem números.

Answer 3

La respuesta a tu pregunta es no, no todos los algebraica de números enteros con valor absoluto 1 son las raíces de la unidad - como usted puede haber aprendido ya desde el 2005 el papel de Daileda que se hace referencia en la respuesta suministrada por Robin Chapman. Sin embargo, usted debe ser consciente de que Daileda de hecho ha redescubierto estos sencillos folclore resultados en unimodular unidades. Estos resultados se deben probablemente al menos medio siglo de edad - si no mucho más. De hecho, recuerdo la lectura de resultados similares en los trabajos publicados por Iwasawa en los años cincuenta o sesenta. No tengo tiempo ahora para localizar dijo Iwasawa de referencia, pero aquí es otra referencia que es suficiente para demostrar mi punto. Esta 1979 papel de Nakahata incluye los mismos resultados y las mismas pruebas simples se encuentran en Daileda del papel. Por otra parte, Nakahata lugares estos resultados, naturalmente, en un contexto más general. Por lo tanto le recomiendo que consulte Nakahata de papel, además de Daileda. He anexado su Zbl revisar a continuación.

Answer 4

Primero, permítanme mencionar un ejemplo, en el Carácter de la Teoría. Deje $G$ ser un grupo finito de orden $n$ y asumen $\rho$ es una representación con carácter $\chi:=\chi_\rho$, el cual es definido por $\chi(g)=Tr(\rho(g))$. Desde $G$ es un grupo finito entonces, invocando hechos de álgebra lineal, se puede demostrar que $\chi(g)\in\mathbb{Z}[\zeta_n]$. Para abelian de los grupos, es fácil ver $\chi(g)$ es una raíz de la unidad, cuando $\chi$ es irreducible, pero, ¿qué acerca de la no-abelian grupos? En otras palabras, vamos a $|\chi(g)|=1$, ¿qué podemos decir acerca de la $\chi(g)$?

Esto se relaciona a su pregunta. Vamos a suponer $K/\mathbb{Q}$ ser un abelian Galois de la extensión dentro de $\mathbb{C}$, y tomar un entero algebraico $\alpha\in\mathcal{O}_K$ tal que $|\alpha|=1$, entonces para cualquier $\sigma\in Gal(K/\mathbb{Q})$ hemos $$ |\sigma(\alpha)|^2=\sigma(\alpha)\overline{\sigma(\alpha)} $$ Desde $K/\mathbb{Q}$ es abelian, a continuación,$\overline{\sigma(\alpha)}=\sigma(\overline{\alpha})$, por lo que $$ |\sigma(\alpha)|^2=\sigma(|\alpha|)=1 $$ A continuación, la norma de toda su conjugado es uno por lo que debe ser una raíz de la unidad. Esta respuesta a la pregunta que se planteó, por lo tanto si $|\chi(g)|=1$ $\chi(g)$ es la raíz de la unidad.

Answer 5

Observe, sin embargo, que si todas las raíces de un polinomio con coeficientes enteros mentira en la unidad compleja círculo (es decir, todas las raíces de z |z|=1), entonces, por el teorema de Kronecker, estas raíces son, de hecho, las raíces de la unidad.