Prueba de la infinitud de los números primos por métodos probabilísticos.

Question

Estoy buscando si hay una prueba de la infinitud de los números primos utilizando el método de probabilidades. Estoy motivado por la respuesta de mi pregunta aquí. La respuesta se basa en una relación entre la independencia de conjuntos medibles y enteros coprime.

Más precisamente pedir la siguiente.

PREGUNTA: Hay una prueba de la infinitud de los números primos mediante la Lovász Local lema por cualquiera de varias versiones diferentes de la lema?

Answer 1

No sé cómo hacerlo con su propuesta de lemas, pero si usted quisiera un probabilística de la prueba, podemos trabajar fuera de mi respuesta anterior. De nuevo tome $P(X=n) = n^{-s}/\zeta(s)$ y $E_k := \{X \text{ is divisible by } k\}$. Ya nos mostró por $s>1$ $$ \left(\sum_{n=1}^\infty n^{s}\right)^{-1}=\frac{1}{\zeta(s)} = P(X=1) = P(\carpeta cap_{p} E_p^c) = \prod_p(1-P(E_p)) = \prod_p(1-p^{s}). $$

Supongamos por contradicción que hay un número finito de números primos. Ahora vamos a $s\to 1^+$. A continuación, obtenemos $$ 0 = \prod_p(1-p^{-1}) $$ que no puede ser, ya que el lado derecho es un producto finito de estrictamente términos positivos. Por ello, debe ser que existen infinitos números primos.

Answer 2

Si su pregunta es si existe todavía una prueba de que se aplique el Lovász / Erdös Lema local para probar la infinitud primordial. La respuesta es no. El Lema proporciona un método que ayuda en las pruebas de existencia y no da una motivación hacia la infinitud de los números primos.

Si no he entendido bien su pregunta, yo tendría que saber la motivación exacta detrás de su inspiración.