Suma

Question

¿Este doble serie ha cerrado forma (es decir, puede ser calculado)? ps

Answer 1

trivialmente

$$\overset{\infty}{\underset{m=1}{\sum}}\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}\frac{1}{10^{mn}}=\overset{\infty}{\underset{m=1}{\sum}}\frac{1}{10^{m}-1}=-\overset{\infty}{\underset{m=1}{\sum}}\frac{1}{1-10^{m}}$ $ Y la última suma se puede calcular, usando la identidad$$ \overset{\infty}{\underset{m=1}{\sum}}\frac{1}{1-a^{m}}=\frac{\psi_{1/a}\left(1\right)+\log\left(a-1\right)+\log\left(1/a\right)}{\log\left(a\right)} $$donde \ psi_ {q} \ left (z \ right) = - \ log \ left (1-q \ right ) \ log \ left (q \ right) \ desbordado {\ infty} {\ underset {m = 0} {\ sum}} \ frac {q ^ {n z}} {1-q ^ {n z }}$$ es la función q-poligamma. De ahí$$\overset{\infty}{\underset{m=1}{\sum}}\overset{\infty}{\underset{n=1}{\sum}}\frac{1}{10^{mn}}=-\frac{\psi_{1/10}\left(1\right)+\log\left(9\right)+\log\left(1/10\right)}{\log\left(10\right)}\approx0.122324.