las funciones elípticas y Weierstrass$\wp$ - Función

Question

La pregunta que parece muy fácil, pero no puedo formalizar:

Deje $L \subset C$ ser una celosía, y $f(z)$ ser una función elíptica para $L$, que es una función de meromorphic para que $f(z+w) = f(z)$ todos los $\omega \in L$. Suponga que $f$ es analítica, excepto para el doble de polos en cada punto de la rejilla $L$. Mostrar que $f = a\wp + b$ para algunas constantes $a,b$.

Lo que he intentado: $\displaystyle f(z) = \prod_{\omega \in L} {\frac{g(z)}{(z-\omega)^2}}$ , $g(z)$ es analítica y, por tanto, constante en el dominio. Ahora lo que queda por hacer, es tomar el producto, aparte de fracciones parciales, y luego me sale casi lo que sea necesario, excepto que no es una constante$a$$b = \sum_{\omega \in L} -\frac1{\omega^2}$.

Estoy en lo cierto? ¿Cómo debo proceder?

Gracias de antemano.

Answer 1

Aquí está una sugerencia para ayudarle a orientarse: Supongamos $f$ es doblemente periódica en el entramado $L_{\tau} = \mathbb{Z} \oplus \tau \mathbb{Z}$ donde $\tau \in \mathbb{H}$, e $f$ es asumido analítica de todos lados para guardar el doble de polos en el entramado de puntos de $L_{\tau}$. ¿Qué se puede decir acerca de la función de $f/\wp$$L_{\tau}$?

Compara la posición de los polos de ambos $f$$\wp$. Si se producen en el mismo lugar, a continuación, $f/\wp$ no tiene polos (siempre que el orden de los polos es el mismo), y lo es doblemente periódica, así como la analítica, por lo tanto la constante de $\Lambda_{\tau}$.

Ahora generalizar $f$ a un arbitrario de celosía $\omega_1 \mathbb{Z} \oplus \omega_2 \mathbb{Z}$, como el que usted publique, y considere la función $g = (f - a)/\wp = f/\wp - a/\wp$ donde $a$ es una constante arbitraria. ¿Qué propiedades se $g$ tiene en el entramado?