El comportamiento inusual en una expectativa condicional

Question

Mostrar un ejemplo de variables aleatorias$X$ #% y$Y$tal que $X$% y% #% no son independientes, pero todavía$Y$ $

He intentado mirar las más simples distribuciones de probabilidad discreta pero cuando intenté encontrar$$\textbf{E}(X\mid Y) = \textbf{E}X$ #% y$p_1, p_2, p_3$tal que $p_4$ $$\textbf{P}(X = 0, Y = 0) = p_1,\quad \textbf{P}(X = 0, Y = 1) = p_2\\ \textbf{P}(X = 1, Y = 0) = p_3, \quad\textbf{P}(X = 1, Y = 1) = p_4$\ textbf {E} (X \ mediados Y) = p_3 P_4$ and $ X$ it always resulted in the independency of $ Y $.

Answer 1

Más simple ejemplo:$Y$ es Bernoulli con valores de$0$ o$1$ cada uno con una probabilidad$\frac{1}{2}$. Si$Y = 0$, entonces$X$ también es Bernoulli con la misma distribución. Si$Y=1$, entonces$X$ es uniforme en$(0,1)$.

Claramente$X$ no es independiente de$Y$. Sin embargo $$ E (X | Y = 0) = E (X | Y = 1) = \ frac {1} {2} $$