La comprensión de una integral de la página 15 del libro de Titchmarsh "La teoría de la función zeta de Riemann"

Question

En el libro de Titchmarsh "La teoría de la función zeta de Riemann" pg. 15 donde se deriva la ecuación funcional de la función zeta, que no podía entender esta parte:$$\frac{s}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n\pi)^s}{n} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin y}{y^{s+1}} dy = \frac{s}{\pi} (2\pi)^s \{-\Gamma(-s)\}\sin\frac{1}{2}s\pi\zeta(1-s)$ $

No podía digerir el razonamiento de Titchmarsh. ¿Puede alguien explicar esto, por favor?

Gracias,

Answer 1

Si estoy leyendo tu pregunta correctamente, le gustaría probar la declaró la igualdad? Si es así, tal vez esto podría orientar un poco. Escribir el lado izquierdo como \begin{eqnarray} \frac{s}{\pi} \left( \int_{0}^{\infty} \frac{\sin y}{y^{s+1}} dy \right) (2\pi)^{s} \left( \sum_{n = 1}^{\infty} n^{s-1} \right) \end{eqnarray} Para demostrar que esto es igual al lado derecho usted necesitará una definición y una identidad. Los zeta función se define como:$\zeta(s) = \sum_{n = 1}^{\infty} n^{-s}$$\mathbf{Re}(s) > 1$, por lo que la suma anterior es claramente igual a$\zeta(1-s)$$\mathbf{Re}(s) < 0$. La parte difícil es ahora muestra la siguiente función gamma representación integral \begin{eqnarray} \Gamma(s) = \frac{1}{\sin \frac{\pi s}{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin y}{y^{1-s}} dy, \end{eqnarray} donde la integral converge si y sólo si $-1 < \mathbf{Re}(s) < 1$. Una vez que tienes esto en la mano, entonces su igualdad es verdadera en $-1 < \mathbf{Re}(s) < 0$. Ahora sólo analíticamente seguir individualmente a continuar la función gamma y la zeta funciones a la más grande de sus respectivos dominios.

(Antes de empezar a publicar una prueba de la representación integral, te voy a dar un par de horas para tratar de trabajar en ti mismo. Sugerencia: Usar un cambio de variables en una forma más común de representación integral. Más por venir)

Answer 2

No es mi intención para ponerlo, pero para aquellos que estén interesados ​​la prueba de la parte difícil de esta cuestión, a saber el resultado clásico que

ps

donde$$ \Gamma(s) \sin \left( \frac{\pi s}{2} \right) = \int_0^\infty y^{s-1} \sin y \textrm{ d}y $ se puede encontrar en "Topics in Número Teoría Analítica", de Hans Rademacher (en el capítulo 6).