Obviamente, hay cosas obvias en las matemáticas. ¿Por qué debemos demostrarlas?
- Demostrar que $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$ ?
- Demostrar que $f(x)=x$ es continua en $\mathbb{R}$ ?
- $\dotsc$
Sólo por enumerar algunos ejemplos.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Kaj Hansen
Puntos
15355
Porque a veces, cosas que deberían ser "obvias" resultan ser completamente falsas. He aquí algunos ejemplos:
- Cambio de puertas en el El problema de Monty Hall "obviamente" no debería afectar al resultado.
- Desde El cuerno de Gabriel tiene un volumen finito, entonces "obviamente" tiene una superficie finita.
- "Obviamente" no podemos descomponer la esfera en un número finito de subconjuntos disjuntos y reconstruirlos en dos copias de la esfera original.
- Desde el Función de Weierstrass es continua en todas partes, entonces "obviamente" debe tener al menos algunos puntos diferenciables.
Por supuesto, las matemáticas han demostrado que el cambio de puertas es ventajoso para el jugador, que el cuerno de Gabriel tiene en realidad una superficie infinita, que efectivamente se pueden obtener dos copias de la esfera original (ver Paradoja de Banach-Tarski ), y que la función de Weierstrass es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna. La cuestión es que hay muchas cosas que son "obvias" pero que en realidad resultan ser totalmente contrarias a la intuición y a lo que esperaríamos. Este es el sentido del rigor: comprobar y asegurarse de que nuestra intuición es realmente correcta, porque no siempre lo es.
Creo que la respuesta tiene cuatro partes.
-
Si le preguntas a una persona al azar en Walmart qué $$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n}$$ es, entonces puede que no consigas mucho. Si les dices que es $0$ Entonces es probable que no piensen que es obvio.
Por el contrario, si vas a una charla de investigación de alto nivel, escucharás mucho "Es obvio que..." o "Está claro que...". Y es posible que no piense que es muy obvio.
La cuestión es: Si algo es obvio o no es relativo a la persona.
-
Las matemáticas se construyen en torno a la demostración de cosas. Todo tiene una justificación. Esta es la naturaleza misma de las matemáticas. Empezamos con unos axiomas y luego lo demostramos todo. Así que cuando preguntas: "¿Por qué debemos demostrar algo?", la respuesta siempre contiene: "Porque estamos haciendo matemáticas".
-
No hace falta tener mucha experiencia en la enseñanza de las matemáticas para encontrarse con un alumno confundido por haber perdido puntos en un examen por falta de justificación. A menudo, el alumno responderá que simplemente pensaba que era obvio. Cuando se les presiona un poco más, queda claro que, de hecho, no tienen ni idea de cómo justificar lo que han hecho. Que el alumno haya llegado o no a la respuesta correcta es irrelevante; la cuestión es que si algo es realmente obvio, no debería ser difícil demostrarlo.
-
Si quieres llegar a ser bueno demostrando cosas difíciles, ¿por qué no adquieres experiencia demostrando cosas empezando a centrarte en cosas sencillas u "obvias"? Creo que la experiencia adquirida al demostrar incluso proposiciones sencillas es valiosa más adelante en tu carrera como matemático.
Steve Jessop
Puntos
2490
La principal razón procedimental es mostrar que tus axiomas capturan correctamente lo que quieres que capturen: es decir, que son tanto "correctos" como suficientes.
Si resulta que bajo nuestros axiomas $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}\neq0$ entonces probablemente elegiríamos una definición diferente de $\lim$ (o un nombre diferente), ya que no estaría describiendo nada que quisiéramos llamar "límite". No sería "correcto". Por supuesto, eso no sería un problema en alguna topología inusual, ya que al llamarla "inusual" queremos decir que no esperamos que se comporte igual que la habitual, por lo que los límites podrían ser diferentes. Puede haber una fina línea entre un resultado que es contraintuitivo pero que mantenemos en nuestro sistema de todas formas, y un resultado que nos hace concluir que nuestras definiciones o axiomas no son tan útiles como pensábamos.
Considera que Euclides intentó y fracasó en demostrar lo "obvio" postulado paralelo . Avancemos 2.000 años más o menos, y finalmente se demuestra que no es un teorema de los otros axiomas de Euclides. Sus cuatro primeros axiomas no eran suficientes para describir lo que era "obvio". Además, las geometrías no euclidianas (en las que el postulado no es cierto) son interesantes y útiles.
Es valioso saber si las cosas "obvias" son demostrables o no a partir de sus axiomas.
En el aprendizaje de las matemáticas, es útil demostrar los resultados "obvios" además de los "no obvios" porque:
- que "sabes" que son ciertas antes de empezar, lo que puede ahorrarte alguna frustración
- la facilidad o dificultad para demostrar lo obvio te enseña algo interesante sobre el área en la que estás trabajando
- te entrenas para razonar sólo usando axiomas formales, no asumiendo cualquier cosa "obvia" que te guste, por muy tentadora que sea
- de manera similar te entrenas para aceptar de los demás sólo las cosas que están probadas, sin importar cuán ciertas parezcan
- probablemente otros beneficios.
Entonces, cuando algo se afirma como "obvio", o tú mismo quieres afirmarlo, rápidamente te lo demuestras a ti mismo, o al menos te convences de que una prueba es posible y podrías escribirla si realmente fuera necesario, o bien cuestionas lo "obvio". Puede que resulte ser falsa (en cuyo caso habrás evitado un error) o puede que requiera una demostración bastante difícil (no es tan obvia después de todo a pesar de que tu intuición sea correcta). Normalmente, es mejor limitar el uso de la palabra "obvio" a cosas en las que la primera prueba que se le ocurre al lector funciona (y, por tanto, cualquiera puede demostrarlas fácilmente si se molesta en escribirlas), no a cosas en las que la intuición es correcta pero la prueba es complicada.
DanV
Puntos
281
Siempre digo que el ejercicio más difícil de mis estudios universitarios fue la primera pregunta de álgebra lineal. Nos enseñaron los axiomas de un campo. Luego teníamos que demostrar lo siguiente:
Por cada $x$ , $x+0=x$ .
El problema es que los axiomas que nos dieron decían $0+x=x$ . Así que tuvimos que usar primero el axioma de la conmutatividad, entonces pudimos concluir que.
¿Por qué fue tan difícil? Por dos razones. La primera es que tenías que entender no sólo lo que debías probar, sino también por qué deberías probarlo. La segunda razón es que tenías que presentar una prueba que no fuera la única palabra "obviamente" o "trivialmente".
Entonces, ¿por qué tenemos que demostrar cosas triviales?
-
Porque es una buena práctica. Es una buena práctica para entender por qué, cómo y qué hacer cuando se escribe una prueba. Y lo bueno de las cosas triviales es que son triviales y sabes que son ciertas, así que no tienes que romperte la cabeza para demostrar algo que podría no ser cierto después de todo.
-
Porque te enseña a sentarte y a probarlo todo. Más adelante en tus estudios, puede que tengas que demostrar cosas más complicadas, y a veces las cosas parecen obviamente ciertas, pero como no dedicas tiempo a demostrarlas, las darás por sentadas, sólo para perder un tiempo precioso antes de darte cuenta de que son falsas.
Si te sientas a probarlo todo, aprenderás a hacerlo más adelante en tu trabajo, y evitarás perder el tiempo en falsas suposiciones, como he hecho yo recientemente. Varias veces. (¡Sí, haz lo que digo, no lo que hago!)
-
Porque las cosas triviales son generalmente fáciles de demostrar, y se asegura de que usted entiende el proceso de encontrar la prueba mediante la verificación de la definición. Para demostrar que $f(x)=x$ es continua es fácil. Dado $\varepsilon>0$ toma $\delta=\varepsilon$ y tienes que si $|x_0-x|<\delta$ entonces $|x_0-x|<\varepsilon$ .
Al hacerlo, revisas la definición de continuidad, la entiendes mejor. A partir de esta comprensión es más fácil abordar cuestiones más difíciles.
-
Porque el kihon es tan importante, si no más, que las ideas avanzadas. Permítanme hacer una digresión y contarles una breve historia sobre mi pasado (es una historia real). Hace una década más o menos, practiqué ninjutsu durante un año y medio. Era genial, me encantaba. Teníamos un gran grupo, y un gran sensei, al que, a pesar de no ver desde hace más de diez años, acudía inmediatamente a su llamada.
A menudo hacíamos técnicas avanzadas de lanzamiento, o de evasión de armas, o de uso de armas, o lo que fuera. Pero nos recordaba constantemente que el kihon es la parte más importante. Kihon, en japonés, es lo básico. En el contexto del ninjutsu significa que tienes que saber cómo golpear adecuadamente, cómo patear adecuadamente y cómo caer adecuadamente. Si sabes eso, entonces tienes muchas más posibilidades de ganar una pelea (y en el ninjutsu, generalmente, no hay puntuación ni reglas, el ganador es el que puede salir caminando).
¿Qué significa eso? Significa que el tipo que se ha pasado un mes dando cincuenta mil puñetazos, nunca pegará mal, y en una pelea tendrá más posibilidades de sobrevivir que alguien que da puñetazos a medias, pero puede hacer un lanzamiento realmente malo.
¿Y qué tiene que ver todo eso con las matemáticas? Kihon. En el contexto de las matemáticas, kihon significa tres cosas. Significa ser capaz de entender una definición, significa ser capaz de entender el problema que tienes que demostrar, y significa ser capaz de escribir una demostración.
Si tratas de saltar, tu kihon es débil. Y te perseguirá. Confía en mí. Te quedarás atascado más tarde, y te molestará. Pero si te sientas a escribir una prueba porque $x+0=x$ Entonces entiendes las definiciones de un campo (es decir, los axiomas), y entiendes cómo leer el problema (es decir, por qué tenemos que demostrar algo aquí), y entiendes cómo escribir una prueba (es decir, bueno, realmente sólo cómo escribir una prueba).
Estas habilidades, el kihon matemático, te convertirán en un ninja matemático en algún momento. Y cuanto mejor sea tu kihon, mejor serás.
Así que siéntate a escribir pruebas para cosas triviales, pero recuerda que a medida que pasen los niveles, puedes permitirte un margen de maniobra. Cuando hayas dominado un nivel, está bien "trivializar" ciertas pruebas; pero de vez en cuando también es bueno repetirlas.
Luke Duddridge
Puntos
111
Las cosas que son obvias para una persona no son necesariamente obvias para otra. Además, disipan (la mayoría) de los escépticos. El hecho de pensar que son verdaderas no significa que lo sean. Por ejemplo, antes de entrar en la universidad, tenía la impresión de que había el doble de elementos en $\mathbb{Z}$ que en $\mathbb{N}$ . Lo habría calificado de obvio, pero después de aprender más sobre ello, ya no es "obvio", ya que $|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|$ .
Si te digo que $|\mathbb{N}|=|\mathbb{Z}|$ Puede que no me creas, pero si te lo demostrara, si te mostrara sin una sombra de duda que mi afirmación es cierta, entonces me creerías. Por lo tanto, es una especie de argumento para demostrar al lector que una afirmación es cierta.
