Verdadero o Falso: Si$f(x)$ #% y% #% se cruzan en un número par de puntos, todos los puntos se encuentran en$f^{-1}(x)$

Question

Anteriormente he hablado sobre el número impar de puntos se cruzan (Ver : Si los gráficos de $f(x)$ $f^{-1}(x)$ intersecan en un número impar de puntos, es al menos un punto en la línea $y=x$?) Ahora , quiero saber incluso la condición . Por ejemplo, $f(x) = \sqrt{x}$ $f^{-1}(x) = x^2 , x\ge 0$ cruza el uno al otro en $(0,0)$ $(1,1)$ puntos y estos puntos se encuentra en $y=x$ línea

Edit : se Considerar $f$ es función continua.

Answer 1

La continua caso, el comprobante:

Por contradicción, supongamos que hay un número de intersecciones y una intersección está fuera de la diagonal.

1. Suponemos que $f^{-1}$ existe lo que significa que $f$ es inyectiva. Por otra parte $f$, es continua, por lo $f$ es creciente o decreciente.
2. $f$ $f^{-1}$ son simétricas por la diagonal, por lo tanto, el conjunto de intersecciones es simétrica por la diagonal.
3. Vamos a denotar $(x_1, x_2)$ una intersección de diagonal. Por simetría, hay una intersección $(x_2, x_1)$. Por lo tanto, podemos WLOG asumir que $x_1<x_2$.
4. $f(x_1) > x_1$ $f(x_2) < x_2$ , de modo que por la continuidad, $f$ cruza la diagonal.
5. Hay un número de intersecciones y simetría, hay un número de intersecciones fuera de la diagonal. Así que incluso existe el número de intersecciones en la diagonal. Así que hay al menos dos de ellos: $f(x_3) = x_3$, $f(x_4) = x_4$
6. $x_1<x_2$ $f(x_1) > f(x_2)$ , lo $f$ está disminuyendo (en general, por 1).
7. $x_3<x_4$ $f(x_3) < f(x_4)$ , lo $f$ es cada vez mayor.

Contradicción :-)

Answer 2

Su pregunta, ya que actualmente se encuentra sin duda no se sostiene, ya que no se especifica el dominio, continuidad o condiciones en inversa. Esta respuesta no definir un$f$ en toda la línea real que tiene un inverso correcto.

Consideremos la función: $$ \begin{align} f(x) = \begin{cases} 1 &\text{if %#%#%}\\ 0 &\text{if %#%#%}\\ x^2 &\text{if %#%#% and %#%#%}\\ -2x &\text{if %#%#%} \end {casos} \ end {align} $$ que tiene inversa $$ \begin{align} f^{-1}(y) = \begin{cases} 1 &\text{if %#%#%}\\ 0 &\text{if %#%#%}\\ \sqrt{x} &\text{if %#%#% and %#%#%}\\ -\tfrac{x}{2} &\text{if %#%#%} \end {casos} \ end {align} $$ y así$x = 0$ solamente en $x = 1$ y$x > 0$, pero en estos puntos$x\neq 1$.