¿Cómo demostrar que$(M \oplus N) \otimes P$ es isomorfo$(M \otimes P) \oplus (N \otimes P)$?

Question

Deje $M, N, P$ $A$- módulos, donde $A$ es un anillo conmutativo con identidad. Quiero demostrar que la $(M \oplus N) \otimes P$ es isomorfo a $(M \otimes P) \oplus (N \otimes P)$.

Puedo empezar por la definición de un mapa de $(M \oplus N) \times P \rightarrow (M \otimes P) \oplus (N \otimes P)$$(x+y,z) \mapsto (x \otimes z, y \otimes z)$. Este mapa es $A$-bilineal, por lo que se induce un homomorphism $f:(M \oplus N) \otimes P \rightarrow (M \otimes P) \oplus (N \otimes P)$ tal que $(x,y) \otimes z \mapsto (x \otimes z, y \otimes z)$.

Ahora quiero construir un homomorphism de la otra manera, es decir, $g: (M \otimes P) \oplus (N \otimes P) \rightarrow (M \oplus N) \otimes P$ y muestran que $g \circ f, g \circ g$ son los mapas de identidad. Estoy teniendo dificultad en la construcción de un adecuado bilineal mapa que induce $g$.

Cualquier conocimiento? Gracias.

Answer 1

Considere los dos mapas$$\varphi: M \times P \longrightarrow (M \oplus N) \otimes P,$ $ $ $(x,z) \mapsto (x,0) \otimes z$ $ and $ $\psi: N \times P \longrightarrow (M \oplus N) \otimes P,$ $ $ $(y,z) \mapsto (0,y) \otimes z.$$ These maps are easily checked to be $ A$-bilinear, so they define homomorphisms $ $\Phi: M \otimes P \longrightarrow (M \oplus N) \otimes P$ $ and $ $\Psi: N \otimes P \longrightarrow (M \oplus N) \otimes P.$$ Now check that $ g = \ Phi \ oplus \ Psi$ is an inverse to $ $ f.

Answer 2

Sugerencia: Encontrar homomorfismos de módulo$M\otimes P\rightarrow (M\oplus N)\otimes P$ #% y% #%.