Deje $M$ $R$- módulo, $f \in R$ y deje $N$ ser el colimit de $M \xrightarrow{f} M \xrightarrow{f} \dotsc$. Dirigido colimits son fáciles de construir: Elementos provienen de elementos de cada uno de los módulos, y se identifican si se los envía a un mismo elemento por algunos de transición mapa. En nuestro caso, si $i_n : M \to N$ indica el $n$th colimit inclusión, cada elemento de la $N$ tiene la forma $i_n(m)$ algunos $m \in M$, e $i_n(m)=i_{n'}(m')$ fib $f^{p-n} m=f^{p-n'} m'$ algunos $p \geq n,n'$. De ello se desprende que $ i_0(m) = f^n \cdot i_n(m)$ y $f$ actúa como un isomorfismo en $N$. Por lo tanto, cada elemento de la $N$ tiene la forma $i_0(m)/f^n$ algunos $m \in M$$n \geq 0$, y tenemos $i_0(m)/f^n=i_0(m')/f^{n'}$ fib $f^p f^{n'} i_0(m')=f^p f^{n} i_0(m)$ algunos $p \geq 0$. Pero esto es lo habitual en la construcción de la localización de la $M_f$, por lo que el $N = M_f$.
Aquí está una más elegante y abstracto explicación: Por la definición de un colimit, un homomorphism $\alpha : N \to T$ corresponde a una familia de homomorphisms $\alpha_n : M \to T$ $\alpha_n = \alpha_{n+1} f$ todos los $n \geq 0$. Tomando $\alpha_n=i_{n+1}$, podemos construir un homomorphism $N \to N$ que fácilmente se considera ser la inversa de la $f$. Si $T$ es un módulo en el que $f$ es invertible, entonces lo anterior muestra que $\alpha$ está totalmente determinado por $\alpha_0$. Por lo tanto, $N$ es el módulo universal sobre $M$ que $f$ se convierte en invertible. Es decir, $N=M_f$. De hecho la misma localización para una arbitraria endomorfismo de un objeto en cualquier categoría dirigida colimits. Por ejemplo, la localización de la set $\mathbb{N}$ con respecto a la función sucesor da $\mathbb{Z}$.
Aquí está una cierta intuición para esto: Iniciar con $M$, queremos hacer $f$ invertible en a $M$. Así, por $m \in M$ queremos encontrar algunos (único) $m/f$ (en un módulo de ampliación de $M$)$f \cdot m/f = m$. Para ello, sólo tiene que añadir lindan con otra copia de $M$, pero cuyos elementos deben comportarse como $m/f$. Aproximadamente sólo tenemos que añadir un poco de espacio adicional para insertar los inversos. Así que tenemos dos copias de $i_0(M)$$i_1(M)$$M$, pero desea asegurarse de que $f \cdot i_1(m) = i_0(m)$. Así que llevar el correspondiente cociente de $i_0(M) \oplus i_1(M)$. Pero con $i_1(M)$ tenemos que seguir de esta manera. Al final, tomamos el cociente de $i_0(M) \oplus i_1(M) \oplus i_2(M) \oplus \dotsc$$f i_n = i_{n+1}$, es decir, la dirigida colimit de $M \xrightarrow{f} M \xrightarrow{f} M \xrightarrow{f} \dotsc$.
De hecho, esta es una muy útil la descripción de las localizaciones. Ver Eisenbud, el libro de álgebra conmutativa para algunas aplicaciones. Por ejemplo, uno inmediatamente se pone ese $R_f$ es plano sobre a $R$, desde dirigida colimits de la plana módulos son planas. Por otro colimit argumento, tenemos que $R_S$ es plano sobre a $R$ para cada subconjunto multiplicativo $S$.
Ahora para el segundo ejemplo: supongamos $M$ $R$- módulo de e $f \in R$ ser tal que $f : M \to M$ es inyectiva. Esto implica que $M \to M_f$ es inyectiva (que se puede ver, por ejemplo, de la colimit descripción), y por lo tanto $M_f / M$ tiene sentido. Deje $C$ ser el colimit de $M/f^0 M \xrightarrow{f} M/f^1 M \xrightarrow{f} \dotsc$. Este secuencias admite una evidente epimorphism de $M \xrightarrow{f} M \xrightarrow{f} \dotsc$. Esto induce una epimorphism $M_f \to C$. ¿Qué es el kernel? Si $m/f^n$ se encuentra en el núcleo, esto significa que $m \bmod f^n M$ se desvanece en $C$. Ya que todos los mapas de transición $f : M/f^p M \to M/f^{p+1} M$ es inyectiva, esto significa que $m \bmod f^n M$ se desvanece en $M/f^n M$, es decir,$m \in f^n M$. Por lo tanto, $m/f^n \in M$. De modo que el núcleo es sólo $M$, y vemos a $M_f/M \cong C$.
