Problema de las pruebas de los factores

Question

La frialdad de un número entero es igual al número entero dividido por el número total de factores que tiene. Por ejemplo, $48$ tiene $10$ factores por lo tanto, la frialdad $(48) = \frac { 48 }{ 10 } =\quad 4.8$

1. Explicar por qué la frialdad $(xy)$ no puede ser igual a un número entero si ambos $x$ y $y$ son números primos diferentes.

Mi intento: Sólo a partir de un par de ensayos un encontró que el número de factores de $xy$ parece ser siempre $4$ . Por lo tanto, podemos observar que la frialdad $(xy)$ sólo puede ser un número entero si $xy$ es divisible por $4$ . Estoy bastante seguro de que no podemos hacer un múltiplo de $4$ multiplicando cualquier combinación de 2 números primos.

El trabajo anterior no es válido sin pruebas y no estoy seguro de cómo abordarlas. ¿Cómo puedo demostrar que $xy$ tiene $4$ factores y que no es posible obtener un múltiplo de $4$ multiplicando dos números primos?

2. $x$ y $y$ son números primos diferentes. Identifica los números de la forma $x y^4$ que tienen una frialdad que es igual a un número entero.

Mi intento: No estoy seguro de cómo resolver esto, pero creo que enumerar los factores de $xy^4$ podría ayudar.

3. Demuestra que el cuadrado de cualquier número primo $x$ es igual a la frialdad de algún número entero.

Mi intento: Ni idea más que enumerar un par de números primos y luego elevarlos al cuadrado para comprobar si el resultado es igual a la frialdad de algún número entero.

Por favor, ayúdenme a resolver los problemas anteriores.

Answer 1

Los divisores de $xy$ cuando $x$ , $y$ son primos distintos son $1,\ x,\ y,\ xy$ . Si $x$ , $y$ son números primos distintos, entonces o bien ambos son Impares, en cuyo caso su producto es impar y, por tanto, no es un múltiplo de $4$ o uno de ellos es $2$ y el otro es impar, y el producto de $2$ y un número impar nunca es divisible por $4$ .

Para su segundo problema, los divisores de $xy^4$ son $\underbrace{1,\ y,\ y^2,\ y^3,\ y^4}_\text{No $ x $ appears here.},\ \ \underbrace{x,\ xy,\ xy^2,\ xy^3,\ xy^4}_\text{One $ x $ divides each of these.}$ .

Answer 2

Esto responde a la pregunta 3.

Si $p\ge5$ entonces

$${24p^2\over\tau(24p^2)}={24p^2\over\tau(2^3)\tau(3^1)\tau(p^2)}={24p^2\over4\cdot2\cdot3}=p^2$$

La factorización en el denominador no es válida para $p=2$ o $3$ Así que esto deja el problema de encontrar enteros (¿pequeños?) $m$ y $n$ tal que

$${m\over\tau(m)}=4\quad\text{and}\quad{n\over\tau(n)}=9$$

Un rápido vistazo a la OEIS encuentra que estos se resuelven con $m=36$ y $n=108$ respectivamente. (La desigualdad general $\tau(N)\le2\sqrt N$ que se obtiene al emparejar cada divisor $d\gt\sqrt N$ con su divisor acompañante $N/d\lt\sqrt N$ reduce la búsqueda de soluciones a $N/\tau(N)=k$ a la gama $1\le N\le(2k)^2$ . Tenga en cuenta que $1\le36\le8^2$ y $1\le108\le18^2$ .)

Answer 3

1. Explicar por qué la frialdad $(xy)$ no puede ser igual a un número entero si ambos $x$ y $y$ son números primos diferentes.

Su pensamiento es correcto en esta parte:

Como $x$ y $y$ son primos distintos, $xy$ tiene $4$ factores: $1, x, y, xy$ . Esto significa que $xy$ debe ser divisible por $4$ . Sin embargo, como $2$ es el único número primo par y no puede ser utilizado dos veces, esto significa que al menos uno de $x$ o $y$ debe ser impar. El producto de un número entero por un número impar nunca dará un múltiplo de $4$ Por lo tanto, la frialdad $(xy)$ nunca será igual a un número entero donde $x$ y $y$ son primos distintos.

2. $x$ y $y$ son números primos diferentes. Identifica los números de la forma $x y^4$ que tienen una frialdad que es igual a un número entero.

$xy^4$ tiene $10$ factores: $1, x, y, y^2, y^3, y^4, xy, xy^2, xy^3, xy^4$ . Esto significa que para el enfriamiento $(xy^4)$ sea un número entero, $xy^4$ debe ser divisible por $10$ . Entonces $x$ y $y$ debe multiplicarse por un factor de $10$ . Los únicos números primos que sirven para esto son $5$ y $2$ . Por lo tanto, $x=2, y=5$ o $x=5, y=2$ .

3. Demuestra que el cuadrado de cualquier número primo $x$ es igual a la frialdad de algún número entero.

Dado el primer $x\neq 3$ , el número entero que tiene su frescura como el cuadrado de cualquier número primo $x$ se puede escribir $n(x) = 3^2x^2$ . Tiene $3^2 = 9$ factores ( $1$ , $3$ , $x$ , $3x$ , $3^2x$ , $3x^2$ , $3^2$ , $x^2$ , $3^2x^2$ ) y $$ \mbox{Coolness}(n(x)) = \frac{3^2x^2}{3^2} = x^2 $$ Si $x=3$ entonces el número $n(x)=2^2 3^3 = 108$ . En este caso

$$ \mbox{Coolness}(108) = \frac{2^23^3}{2^2 3} = 3^2 $$

Por lo tanto, el cuadrado de cualquier número primo $x$ es igual a la frialdad de algún número entero.

¡Espero que esto te ayude en tus problemas!