¿Hay algún elemento de orden$51$ en el grupo$U(103)$

Question

¿Existe un elemento de orden$51$ en el grupo multiplicativo$U(103)$?

Ahora bien, si existe el elemento decir$x$ entonces se satisface la ecuación$$x^{51}\equiv 1\pmod {103}$$ . Now $ 103$ being a prime it is clear that there is an element $ y$ in $ T (n)$ satisfying $ $y^{102}\equiv 1\pmod {103}$ $ Así que se requiere exactamente un elemento de la mitad con el fin de encontrar.

¿Hay alguna consecuencia en la teoría de números que podrían implicar que$$a^{p-1}\equiv 1\pmod p$$ ensures the existence of some $ b$ such that $ $b^{{p-1}\over {2}}\equiv {1}\pmod p$ $ where $ p$ is a prime not dividing $ $ de una

Answer 1

$103$ Es un número primo y así$U(103)$ #% tiene% #% elementos.

Por el teorema de Cauchy,$103-1=102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$ tiene un elemento$U(103)$ # de orden$a$y un elemento$3$ # de orden$b$.

Desde$17$ es abeliano,$U(103)$ #% tiene orden% #%.

Answer 2

Supongo que$U(103)$ representa el grupo multiplicativo del anillo$\mathbb{Z}_{103}$.

Tenga en cuenta que$\mathbb{Z}_{103}$ es un campo; el grupo multiplicativo de un campo finito es cíclico; y un grupo cíclico de orden$n$ contiene elementos de orden$d$ cada vez$d$ divide$n$ (tomar el$\frac{n}{d}$ - ésima potencia de un generador).

Puede reemplazar$103$ en algunos no primos$n$, y todavía$U(n)$ sigue siendo cíclica.

Answer 3

He descubierto que$2$ es una respuesta, pero acabo de utilizar Mathematica, que podría no ser lo que estás buscando.

Nota: también encontrado$4,6,7,15$. Probablemente más.