¿Qué tipo de "simetría" es el grupo simétrico?

Question

Hay dos conceptos que son muy similares, literalmente, en álgebra abstracta: grupo simétrico y el grupo de simetría. Por definición, el grupo simétrico de un conjunto es el grupo que consiste de todos los bijections del conjunto (todos uno a uno y en funciones) de la serie a sí mismo con la función de composición como el grupo de operación. Cuando el conjunto es finito, el grupo es a veces denotado como $S_n$.

El Diedro grupo $D_n$, que es un caso especial del grupo de simetría, tiene una muy fuerte intuición geométrica acerca de la simetría como muestra la imagen.

Yo no sé nada acerca de la relación entre estos dos conceptos, pero el hecho de que $D_3$ $S_3$ son en realidad la misma. Para mí, grupo simétrico es más sobre "permutaciones". Y en realidad sus subgrupos también se llama permutación de grupos.

Aquí están mis preguntas:

• ¿Cuál es la relación entre estos dos conceptos: "grupo simétrico" y "grupo de simetría"?
• ¿Qué tipo de "simetría" es el grupo simétrico?
• Donde está el nombre de "grupo simétrico"?

Answer 1

Reconozco ser ignorante de la verdadera historia del término "simétrico", pero tengo un problema geométrico explicación de por qué se $S_n$ representa sin restricciones (finito) simetrías.

En primer lugar, usted debe preguntarse ¿qué es la propiedad especial de la (equilátero) el triángulo que hace que su distancia a la preservación de simetrías ser $S_3$? La respuesta es que en el triángulo equilátero que no hay una relación especial entre los vértices, ya que los vértices son linealmente independientes en el sentido de que determinan un mayor dimensiones del objeto de tres puntos podría definir, y también como están igualmente espaciados (la distancia entre dos vértices es el mismo) y, por tanto, no se pueden distinguir en función de la distancia. (Toma un poco de un poco más riguroso y técnico de trabajo para demostrar que este hecho le da a usted que la distancia-la preservación de simetrías forma $S_3$, que el trabajo va a depender de si el uso de la Coxeter presentación o la permutación definición de $S_n$; considerar que la tarea)

Para una plaza, uno de los vértices se encuentra en el plano determinado por los otros tres, lo que significa que el cuarto vértice es una combinación lineal de las otras tres, por lo que, en particular, los cuatro vértices no puede posiblemente ser igualmente espaciados por la desigualdad de triángulo, por lo tanto los vértices tienen relaciones especiales que puede estar determinada por la distancia, que es la razón por la que obtiene el menor $D_4$ más que el mayor $S_4$.

Para obtener el total $S_n$ en general, usted necesita el $n$ vértices para determinar una figura de mayor dimensión (de lo contrario el triángulo de la desigualdad impide la posibilidad de que los vértices están igualmente espaciados), y este resulta ser suficiente para que usted sea capaz igualmente de espacio de los vértices. Por eso, $S_4$ sería el grupo de simetría de la distancia-la preservación de las transformaciones de la $3$-dimensiones del tetraedro, y $S_5$ sería el grupo de simetría de la $4$-dimensiones simplex, y así sucesivamente.

Answer 2

Esto es sólo una especulación, pero creo que podría tener algo que ver con la simétrica funciones. Una función de $f$ $n$ variables se dice simétrica si su valor es invariable para cualquier permutación de las variables: $$ f(x_{\pi(1)},\dots,x_{\pi(n)}) = f(x_1,\dots,x_n) $$ para todos los $\pi \in S_n$. Por ejemplo, el polinomio $f(x_1,x_2,x_3)=x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3$ es simétrica: $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1,x_3,x_2)=f(x_2,x_3,x_1)=\dots$.

Alfred Joven escribió una famosa serie de documentos acerca de tales cosas bajo el título de "Sobre Cuantitativa Reposición de Análisis". En la primera parte (desde 1900), se utiliza el nombre de "grupo simétrico" sin comentarios, por lo que la terminología debe ser más que eso.

Answer 3

Siempre he pensado que la terminología de vino de la pre-historia de la abstracta teoría de grupos, que es básicamente resume del Teorema de Cayley. http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group

Este es el teorema que dice que cada grupo finito es un subgrupo de un grupo simétrico.

Esto es cómo los primeros grupos fueron estudiados, antes de que la terminología de "resumen de los grupos de" existía. Por ejemplo, el diedro grupo. En lugar de pensar como un resumen de grupo, usted puede pensar en él como en la recopilación de las permutaciones de los vértices de un $n$-gon, inducida por isometrías.

Del mismo modo que con cualquier otro grupo de simetrías de nada. Por ejemplo, el grupo de simetría de un icosaedro? Piense en ello como permutaciones de los vértices.

es decir, cada "grupo de simetría" es un subgrupo de este grupo universal. Por lo que es llamado el "grupo simétrico" debido a que.

Answer 4

Sólo para agregar a los ejemplos que se han dado de "más simétrica posible" de las estructuras, es decir, admitiendo como su grupo de simetría de la plena grupo simétrico, es suficiente para considerar el llamado grafo completo en $n$ vértices, $K_n$. Esto es simplemente el gráfico con $n$ vértices y todas las posibles aristas, es decir, si llamamos a los vértices $v_1$, $v_2$, ..., $v_n$, tiene todas las aristas $(v_i, v_j)$ para todos los pares de $i\ne j$.
Una simetría (o automorphism) de un gráfico es en general una permutación $\varphi$ del conjunto de vértices que conserva la adyacencia (es decir, $(v,w)$ es una arista si y sólo si $(\varphi(v), \varphi(w))$ es). Genérica de un grafo admite un conjunto limitado de simetrías; en otras palabras, no todas las permutaciones de sus vértices son automorphism.
Pero para un grafo completo, cada permutación de vértices es un automorphism.
Entonces, en un sentido $K_n$ es el "más simétrico" gráfico de $n$ vértices (y, por cierto, cada grupo de permutaciones en $n$ elementos, es decir, cada subgrupo de $S_n$, es el grupo de simetría de algunos $n$-vértice de la gráfica).

Answer 5

Como cuestión de hecho, hay al menos un caso en el que el grupo simétrico es un grupo de simetrías, a pesar de la "simetría" debe ser tomado aquí en un amplio sentido. Es decir, el grupo simétrico ${\cal S}_n$ hace aparecer como grupo de Galois de ciertos polinomios y dice algo acerca de la naturaleza del conjunto de las raíces.

En general, los grupos de simetrías de los poliedros regulares se pueden realizar como subgrupos del grupo simétrico. Desde cualquier simetría de un poliedro enviará vértices vértices, la numeración de los $N$ vértices inducir una incrustación de sus grupos de simetrías en ${\cal S}_N$.

El diedro grupo $D_n$ es el grupo de simetrías de la regular $n$de lados del polígono (planar poliedros).