Ideal gavilla en una superficie

Question

Deje $S\subset\mathbb{P}^n$ un suave complejo proyectiva de la superficie. Considero que la secuencia exacta $$0\rightarrow I_S\rightarrow\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}\rightarrow\mathcal{O}_S\rightarrow 0,$$ donde $I_S$ es el ideal de la gavilla de $S$ e con $\mathcal{O}_S$ I denotar $i_*\mathcal{O}_S$ ($i :S\hookrightarrow\mathbb{P}^n$ la inclusión), por lo que es la extensión por parte de cero fuera de $S$ de la gavilla $\mathcal{O}_S$.

A partir de esta secuencia exacta puedo obtener esta otra secuencia exacta $$0\rightarrow I_S(k)\rightarrow\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(k)\rightarrow\mathcal{O}_S(k)\rightarrow 0.$$ $I_S(k)$ es la gavilla de los polinomios de grado $k$ que se desvanecen en $S$.

Mi pregunta es, ¿cómo puedo ver el $\mathcal{O}_S(k)$? Es correcto decir que es igual a $\mathcal{O}_S(kH)$ donde $H$ es un hyperplane sección de $S$? Debe ser en realidad una gavilla en $\mathbb{P}^n$.

Mi objetivo es calcular el $h^0(I_S(k))=dimH^0(I_S(k))$, por lo que necesito saber $h^0(\mathcal{O}_S(k))$ y saber que me gustaría uso de Riemann-Roch, por eso pensé en introducir una sección de $H$$S$.

Answer 1

Sí,$\mathcal O_S(k)$ es precisamente$\mathcal O_S(kH)$.

Answer 2

Se puede pensar en un tanto$\mathcal O_S(k)$, ya sea como una gavilla de$S$ o$\mathbb P^n$, ya que el cálculo de su cohomología a cada espacio da la misma respuesta. Este es el contenido del lema III.2.10 de Hartshorne. $\mathcal O(1)$ Es la gavilla asociada a un hiperplano en$\mathbb P^n$, y$\mathcal O_S(1) = i^\ast \mathcal O(1)$ está asociado a una sección hiperplano$S\cap H$. Su enfoque parece razonable para mí!