Dado:
$$\frac{\partial F}{\partial t} = \alpha^2 \, \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}-h \, F$$
$$F(x,0) = 0, \hspace{5mm} F(0,t) = F(L,t)=F_{0} \, e^{-ht}.$$
El proceso para obtener la solución es la siguiente.
Las condiciones de frontera sugieren que la sustitución de $F(x,t) = \phi(x,t) \, e^{-h t}$ para que el pde se convierte en
$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = \alpha^{2} \, \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}$$
donde $\phi(x,0) = 0$, $\phi(0,t) = \phi(L,t) = F_{0}$.
Ahora vamos a $\phi(x,t) = F_{0} + \theta(x,t)$ que traer la ecuación y las condiciones en el formulario
$$\frac{\partial \theta}{\partial t} = \alpha^{2} \, \frac{\partial^{2} \theta}{\partial x^{2}}$$
donde $\phi(x,0) = - F_{0}$, $\phi(0,t) = \phi(L,t) = 0$.
Deje $\theta(x,t) = f(x) \, g(t)$ obtener
\begin{align}
\frac{g'}{g} = - \lambda^{2} = \alpha^{2} \, \frac{f''}{f}
\end{align}
para que
\begin{align}
& \alpha^{2} \, f'' + \lambda^{2} f = 0 \\
& g' + \lambda^{2} \, g = 0.
\end{align}
El primer orden de la ecuación tiene la solución $g(t) = e^{- \lambda^{2} \, t}$. La ecuación de $f$ tiene la forma $f'' + (\lambda/\alpha)^{2} \, f=0$ con soluciones de $f(x) = A \, \cos(\lambda x/\alpha) + B \, \sin(\lambda x/\alpha)$.
A partir de las condiciones $\phi(0,t)=\phi(L,t) = 0$
\begin{align}
0 &= A \\
0 &= A \, \cos\left(\frac{\lambda L}{\alpha}\right) + B \, \sin\left( \frac{\lambda L}{\alpha}\right)
\end{align}
para que $B \neq 0$$\sin\left(\frac{\lambda L}{\alpha}\right) = 0$. A partir de este
$$\lambda_{n} = \frac{n \, \pi \, \alpha}{L}.$$
La combinación de las partes lleva a la $\theta(x,t)$ solución
\begin{align}
\theta(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \, \sin\left(\frac{n \, \pi \, x}{L}\right) \, e^{- \frac{n^{2} \, \pi^{2} \, t}{L^{2}}
}\end{align}
El resto de condiciones es $\theta(x,0)= - F_{0}$,
\begin{align}
- F_{0} = \sum_{n=1}^{\infty} B_{n} \, \sin\left(\frac{n \, \pi \, x}{L}\right)
\end{align}
Los coeficientes se obtienen mediante la serie de Fourier de los métodos y
\begin{align}
B_{m} = - \frac{2}{L} \, \int_{0}^{L} F_{0} \, \sin\left(\frac{m \, \pi \, u}{L}\right) \, du = - \frac{2 \, F_{0} \, (1 - (-1)^{m})}{m \, \pi}.
\end{align}
Con todo esto la convierte en una solución
\begin{align}
F(x,t) = F_{0} \, e^{-h t} - \frac{2 \, F_{0}}{\pi} \, e^{-h t} \, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 - (-1)^{n}}{n} \, \sin\left(\frac{n \, \pi \, x}{L}\right) \, e^{- \frac{n^{2} \, \pi^{2} \, t}{L^{2}}}.
\end{align}
o
\begin{align}
F(x,t) = F_{0} \, e^{-h t} - \frac{2 \, F_{0}}{\pi} \, e^{-h t} \, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \, \sin\left(\frac{(2n+1) \, \pi \, x}{L}\right) \, e^{- \frac{(2n+1)^{2} \, \pi^{2} \, t}{L^{2}}}.
\end{align}
