Que muestra que un grupo de orden$pq$ es cíclico si tiene subgrupos normales de orden$p$ y$q$

Question

Esta es la pregunta 2.9 #9 de los Temas de Álgebra por Herstein:

Si $o(G)$ $pq$ donde $p$ $q$ son distintos números primos y si $G$ tiene un subgrupo normal de orden $p$ y un subgrupo normal de orden $q$, demuestran que, a $G$ es cíclico.

Deje $N$ el valor del subgrupo normal de orden $p$ $M$ el valor del subgrupo normal de orden $q$. Aquí hay un par de cosas que me observó mientras que la exploración del problema:

• $N$ $M$ son cíclicos, ya que disponen de primer orden.
• $G = NM$ [1].

Cualquier sugerencias de dónde buscar siguiente?

---

^{[1] Desde $N,M$ son normales, $NM \le G$. A continuación,$o(NM) \mid o(G)$, lo $o(NM)$ es $1$, $p$, $q$, o $pq$. Los tres primeros no funcionan debido a que la fuerza de uno de $N$ o $M$$(e)$, por lo que tenemos $o(NM) = pq$. Por lo tanto, $NM = G$.}

Answer 1

Mire primero el teorema de Lagrange, que le dice que$N \cap M = \{ e \}$.

Esto implica que si$a \in N$,$b \in M$, entonces$a b = b a$, porque $$(ba) ^ {- 1} ab = a ^ {- 1} b ^ {- 1} ab = (a ^ {- 1} b ^ {- 1} a) b \ in M, \ qquad a ^ {- 1} b ^ {- 1} ab = a ^ {- 1} (b ^ {- 1} ab ) \ in N,$$ desde$N, M \triangleleft G$,

Si se toma en particular,$a \ne 1$ (de modo que$a$ tiene orden$p$) y$b \ne 1$ (de modo que$b$ tiene orden$q$), a continuación, $ab$ tendrá fin$pq$.

Answer 2

Usted querrá mostrar todo trayectos. Esto puede ser envuelto de manera sucinta a través de$[M,N]=1$ utilizando el soporte conmutador, ya que si todo en$M\cup N$ conmuta entonces todo en los grupos de toda$G=\langle M\cup N\rangle$ desplazamientos. Tenga en cuenta la identidad$[A,B]\le A\Leftarrow B\le N_G(A)$ para este propósito.