que surjan de la observación formulada por Yuval Filmus en lo que es la cardinalidad del conjunto de todas las funciones lisas en $L^1$ ? Tengo esta idea (que me perdonen por mi ignorancia, por que si no es nada pero un elemental definición/resultado de análisis real). La idea es como esta Deje $f:X\to Y$ es una asignación, donde $X$ es un espacio métrico completo (no se seguro si es estrictamente necesario o si un perdedor de la condición que haría). Si $f$ es una asignación continua, a continuación, $f$ es exclusivamente especificados por la realización de un mapeo $g:E\to Y$ donde $E$ es un subconjunto denso de $X$. ¿Cuáles son las condiciones bajo las que es válido ? también la validez de la inversa de la declaración.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si $Y$ es un Hausdorff espacio topológico, entonces el valor de una función continua $f\colon X\to Y$ está totalmente determinado por el valor de $f$ en un subconjunto denso $E$$X$; para ver esto, supongamos $f$ $g$ son dos funciones que de acuerdo sobre un subconjunto denso $E$$X$, y deje $u\in X\setminus E$. Si $f(u)\neq g(u)$, entonces no están abiertos los vecindarios $U$$V$$f(u)$$g(u)$, respectivamente, de tal manera que $U\cap V=\emptyset$. A continuación, $f^{-1}(U)$ es una vecindad de a$u$$g^{-1}(V)$. Su intersección es una vecindad de a $u$, y por lo tanto debe contener elementos de $E$; pero entonces cualquier $e\in E$ en la intersección de ha $f(e)=g(e)$,$f(e)\in U$$g(e)\in V$, contradiciendo ese $U\cap V=\emptyset$. Por lo tanto, $f(u)=g(u)$, por lo tanto $f=g$.
En esta situación, no importa si $X$ es un espacio métrico completo (o incluso un espacio métrico); la clave es $Y$.
Para ver que la clave es $Y$, considere el caso extremo en que $Y$ tiene la topología indiscreta (la única conjuntos son el conjunto vacío y el conjunto $Y$). Entonces cualquier función en $Y$ es continuo, de modo que usted puede hacer su $X$ cualquier cosa que usted desea, y tiene dos funciones que de acuerdo sobre cualquier subespacio usted cuidado de especificar y sin embargo, difieren en algún otro lugar.
Añadido: tenga en cuenta que cualquier espacio métrico es necesariamente Hausdorff, así que si los mapas son entre espacios métricos, entonces la propiedad tiene (como en el caso de Yuval la respuesta). Esto debido a que tienen la propiedad de que $d(x,y)\geq 0$ $d(x,y)=0$ si y sólo si $x=y$. Por lo tanto, dado $x,y\in Y$, $x\neq y$, deje $\epsilon=d(x,y)\gt 0$. A continuación, $B(x,\frac{\epsilon}{2})$ $B(y,\frac{\epsilon}{2})$ están abiertos los barrios de $x$ $y$ (respectivamente) que son distintos: si $z$ estaban en la intersección, entonces $d(x,z)\lt \frac{\epsilon}{2}$, $d(z,y)\lt\frac{\epsilon}{2}$, y por la desigualdad de triángulo concluiríamos que $d(x,y)\lt\epsilon$, una contradicción.
Adición Final: Ver aquí para una discusión de las converse.
Añadido 2: resultado hacia una posible conversar: es cierto que se necesita una cierta separación en $Y$. Supongamos que existen puntos de $x,y\in Y$, $x\neq y$, de tal forma que cada subconjunto abierto que contiene a $x$ también contiene $y$ (por lo $Y$$T_0$, pero no puede ser $T_1$). Deje $X$ ser el espacio de Sierpinski, $X=\{a,b\}$ con topología $\tau = \{\emptyset, \{b\}, X\}$. Deje $f,g\colon X\to Y$ ser los siguientes mapas: $f$ es la constante de la función que se asigna a todo $x$; $g$ es la función que se asigna a $a\mapsto x$, $b\mapsto y$. El constantfunction es, sin duda continua. Para $g$ si $U$ es un subconjunto abierto que contiene a $y$ pero no $x$,$g^{-1}(U)=\{b\}$, que está abierto; por lo $g$ es continua. Y $g$ $f$ está de acuerdo en el denso conjunto de $\{a\}$, pero no son iguales. Todavía estoy tratando de averiguar el $T_1$ de los casos (para todos $x,y\in Y$, $x\neq y$, existen abrir conjuntos de $U,V$ tal que $x\in U-V$$y\in V-U$).
Añadido 3: Otro paso: $T_1$ no es suficiente; un colega se acercó con este (yo seguía tratando de la cofinite la topología en $\mathbb{N}$ y no llegar a ninguna parte): tomar dos copias de la recta real e identificar todos los puntos excepto en el origen; esto es $Y$. El resultado es una $T_1$ espacio, pero no Hausdorff ya que no hay barrios de las dos copias de el origen son distintos. Ahora vamos a $X$ ser la línea real, y vamos a $E = (-\infty,0)\cup(0,\infty)$ ser el subconjunto denso. Los dos obvio inyecciones, una asignación de $0$ para la primera copia en $Y$ y la asignación de otros a la otra copia, son continuos y están de acuerdo en $E$, pero no en todos los de $X$, lo $T_1$ no es suficiente para la propiedad. Al menos, entonces, en la jerarquía de $T$-espacios, el primer nivel en el que se garantiza la propiedad es de Hausdorff. Esto no significa, sin embargo, establecer si el recíproco de la propiedad que caracteriza a Hausdorff-ness.
Agregó 4. Casi tengo los siguientes:
Conjetura. Suponiendo que el Axioma de Elección, los siguientes son equivalentes para un espacio topológico $Y$:
- $Y$ es de Hausdorff.
- Para cada espacio topológico $X$, cada subconjunto denso $E$$X$, y cada par de continuo mapas de $f,g\colon X\to Y$ si $f$ $g$ está de acuerdo en $E$,$f=g$.
Argumento. Supongamos que $Y$ no es Hausdorff. Si existen puntos de $x,y\in Y$, $x\neq y$, de tal forma que cada abierto barrio de $x$ contiene $y$, entonces el mapa de la Sierpinski espacio indicado anteriormente muestra que $Y$ no tiene la propiedad 2. Así que podemos suponer que la $Y$ es de al menos un $T_1$ espacio. Pero desde $Y$ no es Hausdorff, existen puntos de $s,t\in Y$, $s\neq t$, tal que para todos los barrios de $U$ $s$ $V$ $t$ tal que $s\in U-V$$t\in V-U$,$U\cap V\neq \emptyset$. Deje $\mathfrak{U}\_s$ ser parte de la familia de abrir barrios de $s$ que no contengan $t$, y deje $\mathfrak{V}\_t$ ser parte de la familia de abrir barrios de $t$ que no contengan $s$. Deje $P=\mathfrak{U}\_s\times \mathfrak{V}\_t$, y en parte con el fin de $P$ dejando $(U,V)\leq (U',V')$ si y sólo si $U'\subseteq U$$V'\subseteq V$. Esto hace que $P$ en la dirigida conjunto parcialmente ordenado (dado cualquier $(U,V),(R,S)\in P$ existe $(U',V')\in P$ tal que $(U,V)\leq (U',V')$$(R,S)\leq (U',V')$. Ahora, para cada una de las $(U,V)\in P$, estamos suponiendo que la $U\cap V\neq\emptyset$, por lo que usar el Axioma de Elección deje $y_{(U,V)}\in Y$ ser un elemento de $U\cap V$. Tenga en cuenta que $y_{(U,V)}\neq s$ $y_{(U,V)}\neq t$ todos los $(U,V)\in P$.
Ahora vamos a $X = \{y_{(U,V)}\mid (U,V)\in P\}\cup\{s,t\}$, y dar $X$ la inducida por la topología de la $Y$, por lo que la inclusión de mapas de $X\hookrightarrow Y$ es continua. Tenga en cuenta que el conjunto de $E=\{y_{(U,V)}\mid (U,V)\in P\}$ es denso en $X$: para cada abierto vecindario $B$$s$$X$, existe un conjunto abierto $\mathcal{O}\_B\in Y$ tal que $\mathcal{O}\_B\cap X = B$; en particular, $\mathcal{O}\_B$ es un barrio de $s$; deje $\mathcal{V}$ ser cualquier barrio de $t$ que no contenga $S$, y deje $B'=\mathcal{V}\cap X$; deje $\mathcal{U}$ ser cualquier barrio de $s$ que no contenga $t$. A continuación, $\mathcal{U}\cap\mathcal{O}\_B$ es abierto, por lo tanto $B'=\mathcal{U}\cap\mathcal{O}\_B\cap X$ es un subconjunto abierto de $X$ que está contenida en $B$. Considere ahora $y_{(\mathcal{U}\cap\mathcal{O}\_B,\mathcal{V})}$. Esto es en $\mathcal{U}\cap\mathcal{O}_B\cap\mathcal{V}\cap X \subseteq B'$, y está claramente en $E$. En particular, en $X$ tenemos que $B'\cap E\neq\emptyset$, y, por tanto,$B\cap E\neq \emptyset$. Por lo tanto, cada abierto barrio de $s$ $X$ contiene puntos de a $E$, por lo tanto $x$ se encuentra en el cierre de $E$. Un simétrica argumento es de $t$. Por lo tanto, $E$ es denso en $X$.
Consideremos ahora los mapas de $f,g\colon X\to Y$ define de la siguiente manera: $f$$g$, restringido a $E$, son las señas de identidad; $f(s)=f(t)=s$; y $g(s)=g(t)=t$. Yo reclamo que $f$ $g$ son continuos. De hecho, vamos a $\mathcal{O}$ ser un conjunto abierto en $Y$. Si $\mathcal{O}\cap\{s,t\}=\emptyset$ o $\{s,t\}\subseteq\mathcal{O}$, no hay nada que hacer: la inversa de la imagen en tanto $f$ $g$ es sólo la intersección con la a $X$, por lo tanto abierta en $X$. Así que suponer sin pérdida de generalidad que $s\in\mathcal{O}$ pero $t\notin \mathcal{O}$. Tenga en cuenta que $g^{-1}(\mathcal{O}) = (\mathcal{O}-\{s\})\cap X$, y desde $Y$ $T_1$ la eliminación de un solo punto de un conjunto abierto de los resultados en un conjunto abierto, por lo $g^{-1}(\mathcal{O})$ está abierto. Tan sólo tenemos que mostrar que $f^{-1}(\mathcal{O}) = (\mathcal{O}\cap X)\cup\{t\}$ está abierto en $X$.
Y es que, cuando estoy un poco atascado en la actualidad. ¿Alguien puede verificar o falsificar esto?
