Estoy tratando de calcular la evolución temporal de un estado coherente $|\alpha\rangle$ mediante el uso de un determinado hamiltoniano de la forma:$$\hat{H}=\hbar \omega(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-\alpha(\hat{a}+\hat{a}^{\dagger})).$$ - Mi primer intento ha sido el de encontrar la acción de la $\hat{H}$ más de un estado de Fock $|n\rangle$, debido al hecho de que yo pueda expresar de manera coherente las necesidades de los estados en términos de la Fock estados: $$|\alpha\rangle=e^{\frac{-\alpha^{2}}{2}}\sum_{n=0}{\frac{\alpha^{n}}{n!}}|n\rangle,$$ y el uso de ese $f(\hat{H})|n\rangle=f(h_{n})|n\rangle$ ataque de la $e^{-i\hat{H}t/\hbar}$ que aparece cuando se calcula el tiempo de evolución.
Mi problema es: he encontrado $\hat{H}|n\rangle$: $$\hat{H}|n\rangle=\hbar \omega (n|n\rangle-\alpha\sqrt{n}|n-1\rangle-\alpha\sqrt{n+1}|n+1\rangle,$$ donde estoy pegado como no es de la forma $\hat{H}|n\rangle\propto |n\rangle $ así que no sé qué hacer con la exponencial: $$e^{i\hat{H}t/\hbar}|n\rangle=e^{-i\omega t (\hat{a}^{\dagger}\hat{a}-\alpha(\hat{a}+\hat{a}^{\dagger}))}|n\rangle=?$$ He attemped para manipular el término exponencial usando el CIISB la fórmula, pero he conseguido nada, pero un mal estado de resultados
EDITAR: Aquí añado mi logrado respuesta usando el CIISB fórmula: $$|\alpha(t)\rangle=e^{\frac{-\alpha ^{2}}{2}}e^{\frac{-\omega^{2}t^{2}(1+\alpha ^{2})}{2}}\sum_{n=0}\frac{\alpha ^{n}}{n!}e^{-i \omega t (n-\alpha \sqrt{n+1}-\alpha \sqrt{n})}|n\rangle,$ $ , que parece, a mis inexpertos ojos, estar equivocado. Gracias de antemano.
