Demostrar

Question

Uno de mis amigos está tomando actualmente un primer curso de matemáticas puras + pruebas. Este es un autónomo curso, generalmente sin el uso de técnicas que se enseñan fuera de ella. La última pregunta en su primera asignación para este curso es:

Demostrar que $8\mid n^{n+1}+(n+1)^n-1$ todos los $n \in \mathbb{N}_{>1}$

Mi primer instinto para esta pregunta es: "el uso de la inducción!". Resulta que todavía no oficialmente aprendido de inducción todavía. Entonces pensé "demostrar que es congruente a 0 (mod 8)", pero que no han aprendido que sea. Un mayor acercamiento elemental sería mostrar que $n^{n+1}+(n+1)^n-1$ es divisible por $2$, entonces el resultado de dividir por $2$ es también divisible por $2$ y así sucesivamente, tres veces. Hay una buena simetría con el $a^b+b^a$ pero no he encontrado propiedades útiles.

Se me había pedido ayuda, pero he estado trabajando en él durante bastante tiempo y no he hecho ningún progreso! Cualquier idea se agradece. (Por favor no escribir explícitamente una respuesta como esta es una pregunta con asignación de su clase. Una de ellas podría ser la navegación MSE justo en este momento!)

Answer 1

Compruebe la declaración tiene por $n = 0$ $n=1$ a mano.

A continuación, considere la expresión $n^{n+1} + (n+1)^n - 1$ al $n = 2k$ es incluso.

Entonces tenemos: $n^{n+1} + (n+1)^{2k} - 1 = n^{n+1} + \Big(((n+1)^{k} - 1)((n+1)^{k} + 1)\Big)$.

Observe que $(n+1)^k - 1$ $(n+1)^k + 1$ son consecutivos pares, de modo que su producto es divisible por $8$.

Por otra parte, $n$ significa que $n \geq 2$, lo $n+1 \geq 3$, e $n^{n+1}$ es divisible por $8$.

En el caso de que $n = 2k+1$ es impar, tenemos:

$(n+1)^{2k+1} + (n^{k+1} + 1)(n^{k+1} - 1)$.

De nuevo, el primer término es aún elevado a al menos la tercera potencia, por lo tanto divisible por $8$.

Finalmente, $n^{k+1} + 1$ $n^{k+1} - 1$ son consecutivos pares, por lo que también divisible por $8$.

Esto completa la prueba, donde las ideas principales utilizados fueron:

• ruptura de los casos;

• factorización de una diferencia de cuadrados; y

• la observación de que el producto de pares consecutivos es divisible por ocho.