¿Es fiel representación de este grupo?

Question

Estoy interesado en el siguiente grupo. (Es el grupo fundamental de la figura del ocho nudo con el requisito adicional de que $a$ $b$ tiene orden 3.)

$G=\left\langle a,b\ |\ a^3=1,b^3=1,aba^{-1}ba=bab^{-1}ab\right\rangle$

El uso de BPA me di cuenta de muchos de los cocientes de este grupo tenían orden de $12n^3$ por varios enteros $n$, que me hizo preguntarme si el grupo estaba isomorfo a algo como $\mathbb{Z}^3\rtimes A_4$. Esto me llevó a encontrar el siguiente $4\times4$ matricies que realmente satisfacen las relaciones anteriores.

$a\rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & 1 & 0\\-1 & 0 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix}$

$b\rightarrow \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & -1 & 0\\2 & 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 0 & 0\end{bmatrix}$

Es esta una representación fiel? ¿Cómo puedo probar esto?

Answer 1

La respuesta es que el grupo es isomorfo a una extensión de ${\mathbb Z}^3$$A_4$, pero es un nonsplit extensión, y no un semidirect producto. Su representación debe ser fiel, porque no hay una buena cociente de $G$ es isomorfo a sí mismo (es decir, es un Hopfian grupo).

No estoy de acuerdo con Igor Rivin sobre esta siendo un problema difícil. Es un sencillo ordenador de cálculo. Desde el kernel $K$ de la homomorphism en $A_4$ ha finito índice en $G$, puede utilizar el Reidemeister-Schreier algoritmo para calcular una presentación de $K$, desde el que se puede ver de inmediato que $K \cong {\mathbb Z}^3$.

He encontrado, que lo finito cociente grupo de orden $96$ que es una extensión de $C_2^3$ $A_4$ es un nonsplit extensión, y por lo $G$ debe ser nonsplit.

Ciertamente se podría hacer esto en la BRECHA, y yo podría averiguar cómo hacerlo, pero tal vez alguien va a hacer que la primera! Yo soy un poco más familiarizado con el Magma, así que voy a dar el Magma de los comandos de abajo. Es la Reescritura de comando que se ejecuta el Reidemeister-Schreier algoritmo. Las tres relaciones son conmutadores - por alguna razón Magma escribe el conmutador [x,y] como (x,y).

> G:=Group<a,b|a^3=1, b^3=1, a*b*a^-1*b*a=b*a*b^-1*a*b >;
> h:=Homomorphisms(G,Alt(4))
> K:=Kernel(h[1]);
> K:=Rewrite(G,K);
> K;
Finitely presented group K on 3 generators
Generators as words in group G
    K.1 = (G.2^-1 * G.1)^2
    K.2 = G.2 * G.1 * G.2 * G.1^-1 * G.2^-1 * G.1^-1
    K.3 = G.1^-1 * G.2^-1 * G.1 * G.2^-1 * G.1^-1
Relations
   (K.2^-1, K.3) = Id(K)
   (K.2^-1, K.1^-1) = Id(K)
   (K.3, K.1^-1) = Id(K)

Aquí es el mismo cálculo realizado en la BRECHA:

gap> F := FreeGroup(2);; a:=F.1;; b:=F.2;;
gap> rels := [a^3, b^3, a*b*a^-1*b*a/(b*a*b^-1*a*b)];;
gap> G := F/rels;;
gap> homs := GQuotients(G, AlternatingGroup(4));;
gap> K := Kernel(homs[1]);;
gap> P := PresentationSubgroup(G,K);;
gap> TzGo(P);;
#I  there are 3 generators and 3 relators of total length 12
gap> TzPrintPresentation(P);
#I  generators:
#I  1.  _x1   4 occurrences
#I  2.  _x2   4 occurrences
#I  3.  _x3   4 occurrences
#I  relators:
#I  1. _x2^-1*_x1^-1*_x2*_x1
#I  2. _x3*_x2*_x3^-1*_x2^-1
#I  3. _x3*_x1*_x3^-1*_x1^-1
#I  there are 3 generators and 3 relators of total length 12