Dadas $x^9 = e$ y $x^{11} = e$ prueba $x = e$.

Question

Todo problema: Demostrar que cualquier elemento $x$ en un grupo $G$ que satisface $$ x ^ 9 = e \\ x ^ {11} = e, $$ $e$ Dónde está el elemento de identidad, que $x$ sí mismo debe ser $e$.

Esto es tan simple como una muestra de

• $x^{11} = x^{9} \cdot x^{2} = e \cdot x^2 \Rightarrow x^2 = e$
• $x^{9} = x^{2} \cdot x^{7} = e \cdot x^7 \Rightarrow x^7 = e$
• $x^{7} = x^{2} \cdot x^{5} = e \cdot x^5 \Rightarrow x^5 = e$
• $x^{5} = x^{2} \cdot x^{3} = e \cdot x^3 \Rightarrow x^3 = e$
• $x^{3} = x^{2} \cdot x = e \cdot x \Rightarrow x = e$

Por lo tanto, $x = e$.

Answer 1

Su razonamiento es correcto, pero aquí es un argumento más directo.

Desde $x^9 = e$ y $x^{11} = e$, la orden de $x$ divide $9$ y $11$. Por lo tanto, el orden de $x$ es $1$ % que $x = e$.

Answer 2

$$e=(x^{11})^5=x^{55}=x^{54}\cdot x=(x^9)^{6}\cdot x=e\cdot x=x$$

Como se puede ver, este sigue así porque no es un entero soluciones a $11x-9y=1$, lo cual es cierto porque $11$ $9$ son relativamente primos.

Su enfoque está haciendo mucho de la misma, mediante una forma lenta de el algoritmo de Euclides para mostrar que $11$ $9$ son relativamente primos:

$$11=9\cdot 1 + 2\\ 9=2\cdot 1 + 7\\ 7=2\cdot 1 + 5\\ 5=2\cdot 1 + 3\\ 3=2\cdot 1 + 1$$

Podría haber saltado un montón de pasos haciendo el equivalente a $9=2\cdot 4 + 1$, como otras respuestas han sugerido.

Answer 3

Sí, es así de simple. Se puede hacer incluso más corto, porque después de mostrar $x^2=e$, usted puede ir directamente a $$e=x^9=x(x^2)^4=xe^4=x$$and % listo.

Answer 4

Puede ser tan simple como lo que resultó, pero puede ser más corto. Realmente se puede demostrar el siguiente resultado:

Si está en un grupo, $x^m=e$ y $x^n=e$ % coprimos $m$y $n$ y $x=e$.

De hecho tenemos relación de Bézout: $\; um+vn=1$, que $$x=x^{um+vn}=(x^m)^u(x^n)^v=e^ue^v=e.$ $