Mostrar la secuencia $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ no tiene límites

Question

Dejemos que $a_{n}>0 ,(n=1,2,\cdots)$ y $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{_{n}}}{a_{_{n+1}}+a_{_{n+2}}}=0.$$ Mostrar la secuencia $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ no tiene límites.

Lo siguiente es lo que pienso.Pero no estoy seguro de que mi respuesta sea correcta,necesito que alguien la compruebe.Aunque sea correcta,esta respuesta es complicada y engorrosa.Tenéis alguna forma concisa por utilizando la reducción al absurdo ?

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Supongamos que la secuencia $\{a_{n}\}$ está acotado, entonces existe $M(>0)$ tal que $0<a_{n}\leq M,(n=1,2,\cdots).$

(1). $$0<\frac{a_{n}}{2M}\leq\frac{a_{_{n}}}{a_{_{n+1}}+a_{_{n+2}}},(n=1,2,\cdots)\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0 $$

(2). $$\frac{a_{n}+a_{n+1}}{a_{n+1}+a_{n+2}}=A(n)+B(n),A(n)=\frac{a_{n}}{a_{n+1}+a_{n+2}}, B(n)=\frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+a_{n+2}}(B(n)\in (0,1],n=1,2,\cdots)\Rightarrow$$ $$0\leq\varlimsup_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n}}{a_{n+2}+a_{n+3}}=\varlimsup_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}+a_{n+2}}\cdot \frac{a_{n+1}+a_{n+2}}{a_{n+2}+a_{n+3}}\leq\varlimsup_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}+a_{n+2}} \cdot\varlimsup_{n\rightarrow\infty} \frac{a_{n}+a_{n+1}}{a_{n+1}+a_{n+2}}=0\Rightarrow \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{a_{n+2}+a_{n+3}}=0$$

(3). Además, tenemos $\forall p\in\mathbb{N},$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{_{n}}}{a_{_{n+p}}+a_{_{n+p+1}}}=0$$

(4). Desde (3) Deja que $$p_{1}=1, \exists N_{1}\in\mathbb {N},\text{such that}\frac{a_{_{n}}}{a_{_{n+1}}+a_{_{n+2}}}<\frac{1}{2}\text{ whenever} \quad n>N_{1};$$ $$p_{2}=2, \exists N_{2}\in\mathbb {N}(N_{2}>N_{1}),\text{such that}\frac{a_{_{n}}}{a_{_{n+2}}+a_{_{n+3}}}<\frac{1}{2}\text{ whenever} \quad n>N_{2};$$ $$\cdots\cdots\cdots\cdots$$$$ p_{k}=k, \\N existe N_{k}\in\mathbb {N}(N_{k}>N_{k-1}>\cdots>N_{1}),\text{{}tal que}{frac{a_{n}}{a_{n+k}+a_{{n+k+1}}<{frac{1}{2}}text{}siempre que} {cuadrado n>N_{k}; $$$$\cdots\cdots\cdots\cdots$$ (5). Desde (4) debe existir un índice $k_{0}\in \mathbb{N}$ y $n_{0}>N_{k_{0}}$ tal que $a_{n_{0}}>a_{n_{0}+k_{0}}$ y $a_{n_{0}}>a_{n_{0}+k_{0}+1}.$ De hecho, si para todos $k\in\mathbb{N}$ y cada $n>N_{k},$ tenemos $a_{n}\leq a_{n+k}$ o $a_{n}\leq a_{n+k+1},$ entonces para cada $n>N_{k},a_{n}=0$ Esto es contradictorio. $a_{n}>0 (n=1,2,\cdots)!$

(6). Desde (5), $$\frac{1}{2}<\frac{a_{n_{0}}}{a_{n_{0}+k_{0}}+a_{n_{0}+k_{0}+1}}<\frac{1}{2}. \quad \text{It's impossible!}$$

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De todo lo anterior, podemos decir que la secuencia $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ no tiene límites.

Answer 1

Por la hipótesis del límite, para $n$ lo suficientemente grande, \begin{equation} \frac{a_n}{a_{n+1} + a_{n+2}} < \frac{1}{4}. \end{equation} Por lo tanto, o bien $a_{n+1} > 2 a_n$ o $a_{n+2} > 2 a_n$ . Usando eso, podemos encontrar una subsecuencia $a_{i_0}, a_{i_1}, \ldots$ tal que $a_{i_n} \ge 2^n a_{i_0}$ (eligiendo $i_{n+1}$ para ser $i_n + 1$ o $i_n + 2$ ). Esto implica fácilmente que la subsecuencia es ilimitada, y por lo tanto la secuencia original también es ilimitada.

Answer 2

Supongamos que la secuencia $\{a_{n}\}$ está acotado, es decir existe $M>0$ tal que $$0<a_{n}\leq M,\ \ n=1,2,\cdots.$$ Así que $$0<\frac{a_{n}}{2M}\leq\frac{a_n}{a_{n+1}+a_{n+2}}\implies \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.$$ Por $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}+a_{n+2}} =\lim_{n\to\infty}a_{n}=0,$$ sabemos: para $\forall \epsilon>0,\exists N>0$ cuando $n>N$ , $$a_n<\epsilon, \qquad \color{red}{\frac{a_n}{a_{n+1}+a_{n+2}}<\epsilon}.$$ Así que para cualquier $k\geq1$ , \begin{align*} a_{_{N+1}} &\color{red}{<}(a_{_{N+2}}+a_{_{N+3}})\epsilon\\ &\color{red}{<}(a_{_{N+3}}+2a_{_{N+4}}+a_{_{N+5}})\epsilon^2\\ &\color{red}{<}(a_{_{N+4}}+3a_{_{N+5}}+3a_{_{N+6}}+a_{_{N+7}})\epsilon^3\\ &\color{red}{<}\cdots\\ &\color{red}{<}M\epsilon^k\left(1+\binom{k}{1}+\binom{k}{2}+\cdots+\binom{k}{k}\right)\\ &=M(2\epsilon)^k, \end{align*} Toma $\epsilon=1/4$ entonces, para cualquier $k\geq1$ sabemos que $$0<a_{_{N+1}}<\frac{M}{2^k},$$ dejar $k\to\infty,$ obtenemos $a_{_{N+1}}=0$ que está en contradicción con $a_{_{N+1}}>0$ .