Una secuencia positiva debe converger monotónicamente para un índice suficientemente grande.

Question

Esta pregunta es bastante sencilla,

Sea $a_n$ sea una secuencia que converge a cero, existe un $N$ tal que para todo $n>N$ lo siguiente $a_{n+1}\le a_{n}$

¿Es correcto el teorema anterior? Estoy confundido ya que lo usé en un examen y el profesor dijo que esto no necesariamente sucede, ¿busco un contraejemplo o algo así?

Answer 1

Esto es falso . Por el título de la pregunta, es mejor dar un ejemplo sencillo utilizando una secuencia con positivo entradas. Contraejemplo:

Considere la secuencia $(a_n)$

$$2,\frac12,\dots,\frac{2}{2n-1},\frac{1}{2n},\dots$$

Dado que cada término $a_n$ tiene un denominador que tiende a infinito a medida que $n\to+\infty$ , $a_n\to0$ como $n\to+\infty$ .

$$a_{2n-1}-a_{2n} = \frac{2}{2n-1}-\frac1{2n}=\frac{2n+1}{2n(2n-1)}>0 \text{, but}$$ $$a_{2n}-a_{2n+1} = \frac1{2n}-\frac{2}{2n+1}=\frac{-2n+1}{2n(2n+1)}<0$$

Por lo tanto, la secuencia $(a_n)$ converge a cero mientras que fluctuante .

Answer 2

La afirmación es incorrecta.

Considere la secuencia $a_k = \frac{2 + (-1)^k}{k}$ . Esta secuencia es positiva como se pide en el título y converge a cero, pero contradice la conclusión de la afirmación.

Answer 3

Es falso, como puede verse en este contraejemplo $$a_n=\frac1n+\dfrac{(-1)^n}{n^2}.$$ Esta secuencia tiene términos positivos pero no es monotónicamente convergente a $0$ . Una comprobación $a_{2p}>a_{2p+1}$ y $a_{2p+1}<a_{2p+2}$ .

Answer 4

Esta afirmación no es cierta.

Sugerencia consideremos la secuencia definida por $x_{2n}=2^{-n}$ y $x_{2n+1}=3^{-n}$ .

Answer 5

Un método más genérico para construir dicha secuencia: Tomemos una secuencia convergente arbitraria que estrictamente es decir, disminuciones monótonas, $a_{n+1}<a_n$ para todos $n$ . A continuación, puede construir una nueva secuencia $b_n$ por $b_{2n}=a_{2n+1}$ , $b_{2n+1}=a_{2n}$ . No es difícil comprobar que $b_n$ converge al mismo límite que $a_n$ pero nunca llega a ser monótona ya que por construcción $b_{2n+1}>b_{2n}$ .

Obsérvese también que de cada secuencia convergente monotónica decreciente que finalmente no se hace constante, se puede obtener una estrictamente monotónica decreciente con el mismo límite simplemente omitiendo las repeticiones.

Obsérvese también que cuando se considera la topología discreta (por ejemplo, considerando sólo secuencias enteras), su suposición es verdadero, ya que allí sólo las secuencias que eventualmente se hacen constantes son convergentes, y la secuencia constante es decreciente monotónica.