Ejemplo de un Funtor preserva sólo coproductos finitos

Question

¿Qué es un ejemplo de un functor $$F : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$ $ que conserva coproductos finitos, pero no infinitos coproductos?

I preservar infinitos coproductos es dadas por $T \times - : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$ % set $T$. Si un Funtor preserva coproductos finitos, entonces el mapa natural $F(1) \times X \to F(X)$ es un isomorfismo si $X$ es finito. Así, un contraejemplo participarán conjuntos infinitos.

La $\mathsf{Ab}$ de la categoría de grupos abelianos, un contraejemplo es simplemente $X \mapsto X^{\mathbb{N}}$.

Answer 1

En el ejemplo siguiente se parece trabajar. Considerar la composición $$F : \mathsf{Set} \xrightarrow{D} \mathsf{Top} \xrightarrow{\beta} \mathsf{CompHaus} \xrightarrow{U} \mathsf{Set},$ $ $D$ Dónde está la topología discreta, $\beta$ es la piedra-Cech-compactación y $U$ es el functor olvidadizo. En otras palabras, $F(X)$ es el conjunto de ultrafilters en $X$. Desde $D$ y $\beta$ quedan adjoint y $U$ conserva coproductos finitos, él sigue que $F$ conservas de coproductos finitos. Pero no conserva coproductos arbitrarias, puesto que no es isomorfo a $F(\mathbb{N})$ $\coprod_{n \in \mathbb{N}} F(\{n\}) \cong \mathbb{N}$.

Answer 2

Aquí es una clase de ejemplos, generalización de la tuya: mirar la composición $$\mathbf{Set}\xrightarrow{\mathfrak{P}}\mathbf{CRing}^{\operatorname{op}}\xrightarrow{\operatorname{Spec}}\mathbf{Set}\,.$$ The first functor takes a set $X$ to the power set ring $\mathfrak{P} (X) \cong\mathbb {F} _2^X$. The interesting thing happens at the second arrow. One can check that the compositions is isomorphic to your functor $F$, as Asaf Karigala points out. But of course you can replace $\mathbb {F} _2$ por cualquier otro fijo anillo comutativo.