Agrupación de elementos en grupos

Question

Esta es una fórmula chug-plug dada en mi libro :

1.El número de formas en que mn diferentes artículos pueden dividirse a partes iguales int m grupos cada uno de los cuales contiene n objetos y el orden de los grupos no es importante es : $\frac {(mn)!}{(n!)^m} \frac {1}{m!} $

2.El número de formas en que mn diferentes artículos pueden dividirse a partes iguales int m grupos cada uno de los cuales contiene n objetos y el orden de los grupos es importante es : $\frac {(mn)!}{(n!)^m} \frac {1}{m!} * (m!) $

Estoy teniendo algunos problemas para entender las dos fórmulas anteriores y por lo tanto cometo errores al resolver problemas basados en las mismas, por lo que soy muy curioso para conocer la prueba.

Answer 1

1. Imaginemos primero que tanto el orden de los grupos et el orden dentro de los grupos es importante. Tienes que $mn$ elementos; una forma de dividirlos en $m$ grupos de $n$ objetos cada uno es simplemente enumerar los elementos. Los objetos del 1 al $n$ irán al primer grupo; los artículos $n+1$ a través de $2n$ irán al segundo grupo; etc. Hay $(mn)!$ formas de enumerar los artículos.

   Pero, de hecho, no te importa el orden en el que aparecen los grupos en la lista: si tomas la misma lista que tienes, y ahora listas los elementos $n+1$ a través de $2n$ primero, luego, digamos, veces $4n+1$ a través de $5n$ a continuación $1$ a través de $n$ etc., seguirá obteniendo la misma división de objetos en las mismas agrupaciones. Por lo tanto, cualquier ordenación de los bloques de la lista producirá la misma distribución de los objetos en los grupos. Cada distribución en grupos puede describirse en $m!$ maneras, una para cada ordenación del $m$ grupos. Así que has contado cada distribución $m!$ veces, y hay que dividir $(mn)!$ por $m!$ .

   Pero aún no has terminado, porque también no les importa el orden dentro de cada grupo. De nuevo, digamos que tienes un listado: si coges el primero $n$ elementos de la lista, y los enumera en un orden diferente (digamos, del último al primero) mientras los mantiene en el primer $n$ al final tendrás los mismos elementos separados en los mismos grupos: te da igual quién entre en el grupo $1$ primero o último, sólo que terminan en ese grupo. Así que también has contado de más por tantas formas como hay de enumerar a los miembros de cada grupo por orden. En cada grupo, tienes $n$ que pueden enumerarse en $n!$ diferentes maneras. Existen $m$ tales grupos, por lo que cada enumeración de los elementos de los grupos puede hacerse en $(n!)^m$ maneras; así que tienes también por separado, sobrecontaron las listas en $(n!)^m$ lo que le obliga a dividir también por $(n!)^m$ . Juntando estos dos factores de recuento se obtiene la primera fórmula.

2. Intenta adaptar la explicación anterior para ver cómo se obtiene esta fórmula; ten en cuenta que una forma más sencilla de escribirla es la siguiente $\frac{(mn)!}{(n!)^m}$ ya que los dos $m!$ se anulará.

Answer 2

Permítanme derivar otra expresión para lo siguiente:

El número de formas en que mn diferentes artículos pueden dividirse a partes iguales en m grupos, cada uno de los cuales contiene n objetos y el orden de los grupos no es importante.

Como el orden de los elementos dentro del grupo no importa, hay $C^m_n$ $\cdot$ $C^{m-n}_n$ $\cdot$ ... $\cdot$ $C_n^n$ formas de ordenar el n objetos en m grupos. Esta formulación excluye cualquier tipo de ordenación dentro de los grupos. Sin embargo, esta formulación tiene en cuenta la ordenación entre los grupos. Por lo tanto, debe dividirse por ¡m! para tenerlo en cuenta. Por lo tanto, el número de mn diferentes artículos pueden dividirse a partes iguales en m grupos, cada uno de los cuales contiene n objetos y el orden de los grupos no es importante puede expresarse como:

$\frac{C^m_n \cdot C^{m-n}_n \cdot ... \cdot C_n^n}{m!}$

Supongamos que hay que dividir 8 objetos a partes iguales en 4 grupos de 2 objetos cada uno. Entonces, se podría calcular como

$\frac{C^8_2 \cdot C^{8-2}_2 \cdot C^{8-4}_2 \cdot C^{8-6}_2}{4!}$

Answer 3

Orden del grupo significa que cada uno de los m grupos está ordenado como grupo-1, grupo-2,..., grupo-m. Vamos a entenderlo mejor con un ejemplo. Sea la Disposición-A tal que Grupo-1={a1,b1,...,n1}, Grupo-2={a2,b2,...,n2}... Sea el arreglo-B tal que Grupo-1={a2,b2,...,n2}, Grupo-2={a1,b1,...,n1} mientras que todos los otros elementos/objetos en los grupos restantes sigue siendo igual que en el arreglo-A. Ahora bien, si el orden de los grupos no es importante, el Arreglo-A es igual al Arreglo-B. Si el orden de los grupos es importante, entonces el Arreglo-A no es igual al Arreglo-B. P.D: No he aportado la prueba de la fórmula ya que lo escrito por Arturo debe ir acompañado de esta explicación.