¿Si X es un espacio de Hausdorff y es un subespacio denso de X, puede superar la densidad y la densidad de X? La densidad de un espacio X es menos infinito cardinal C tal que X tiene un denso conjunto de cardinal C o menos.
Respuestas
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Consulte el siguiente documento:
R. Levy, R. H. McDowell,
Denso subconjuntos de X.
Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 50 (1975), 426-430.
http://www.ams.org/journals/proc/1975-050-01/S0002-9939-1975-0370506-8/S0002-9939-1975-0370506-8.pdf
De la introducción: "... el uso de este el resultado para obtener una nonseparable espacio de $X$ tal que $\beta X$ es separable."
Desde $X$ es denso en $\beta X$, el resultado anterior muestra que podría tener un separable espacio, es decir,$\beta X$, y un no-separables subconjunto denso, es decir,$X$.
Llegué a esta referencia después de que llegué primero a un papel
por J Talponen - 2015,
http://arxiv.org/pdf/1506.06080.pdf
cuando busqué en google:
el aumento de la densidad de subconjuntos densos
y miró en el primer par de páginas.
Levy y McDowell también se describen más estándar ejemplo, 5.3.
Deje $X$ ser el producto de la continuidad de muchas copias de la unidad cerrada intervalo de $[0,1]$. Deje $Y$ ser el subespacio de $X$ funciones $f$ que toma el valor de $0$ a todos pero un número finito de coordenadas. (Creo que este es conocido como $\sigma$-producto, puede intentar encontrar otra referencia ... adjunto algunos enlaces en un comentario. $X$ es separable por la Hewitt-Marczewski-Pondiczery teorema.) A continuación, $Y$ es denso en $X$, pero no es separable.
Damian Reding
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Respuesta parcial:
En general $d(X)\leq d(Y)$ para subconjuntos densos. Así que si la respuesta fuera "no", entonces nos gustaría tener siempre a $d(Y)=d(X)$, que en este caso es equivalente a decir que la densidad es de una monotonía de las funciones cardinales. Ahora Hodel del artículo en el Manual de Conjunto de la teoría de la topología se establece expresamente que la densidad no es monótono, pero que es monotono para abrir subconjuntos, así que supongo que la respuesta es "no" en caso de que su $Y$ está abierto, pero parece que no hay, de hecho, existen ejemplos de no abrir$Y$$d(Y)>d(X)$, pero no estoy seguro de si se puede ser elegido para ser denso.
