¿Conjunto de ceros de un ideal radical?

Question

Supongamos que $R=F[X_0,\dots,X_r]$ donde $F$ es un campo algebraicamente cerrado. Ahora $R$ es graduado, con los polinomios homogéneos de grado $n$ siendo los elementos de grado $n$ . Supongamos $I$ es un ideal radical homogéneo. Como de costumbre, tenemos las funciones $\phi(n)=\dim_F R_n$ , $\phi(n,I)=\dim_F I_n$ y $\chi(n,I)=\dim_F R_n/I_n=\dim_F R_n-\dim_F I_n=\phi(n)-\phi(n,I)$ .

Me he estado preguntando lo siguiente. Supongamos que $\chi(n,I)=m$ para todo lo suficientemente grande $n$ . A partir de esto, ¿por qué los ceros de $I$ en $\mathbb{P}^r$ consisten en $m$ ¿puntos distintos?

Ahora $\phi(n)=\binom{r+n}{r}$ de modo que $n$ aumenta, $\phi(n)$ aumenta, por lo que necesariamente $\phi(n,I)$ debe aumentar para equilibrar $\chi(n,I)$ . Sin embargo, no veo cómo esto se relaciona con los ceros de $I$ en $\mathbb{P}^r$ .

Answer 1

Si $\dim R_n/I_n=m$ para $n\gg0$ entonces el polinomio de Hilbert (véase Hartshorne, sección I.7) de $R/I$ es $P(t)=m$ . Como se trata de un polinomio constante, la dimensión de la variedad $V(I)$ es cero, el grado del polinomio $P$ . Desde $I$ es radical, $V(I)$ es por tanto un conjunto finito de puntos; digamos que hay $k$ de ellos. Usando la Proposición I.7.6.b en Hartshorne, se puede ver que la grado de $V(I)$ que, por definición, es el coeficiente principal de $P$ veces $0!$ es decir $m$ es igual a la suma de los grados de cada uno de sus puntos. Un simple cálculo muestra que el grado de un punto es $1$ por lo que vemos que $k=m$ .