Conjetura de los números primos

Question

Se sugirió que pusiera mi conjectura completa en lugar de ejemplos específicos. Aquí está:

Dado cualquier número primo p>3, existe c tal que se cumplen las siguientes condiciones:

1a. La ecuación cuadrática $x^2-px-c=0$ tiene soluciones enteras

2a. c es divisible por todos los primos menores que $\sqrt{p}$

3a. c no es divisible por ningún otro primo

Nótese que esto es equivalente a:

Existen enteros A y B tales que:

1b. $A\pm B=p$

2b. $A\times B=c$, lo cual sigue las condiciones 2a y 3a mencionadas anteriormente.

Y por último (por ahora) esto es equivalente a:

Si $X_T={X(X+1) \over 2}$ = el número triangular $X^{th}$ (1+2+3+...+X), que también es igual a $_{X+1}C_2$, entonces

dado un número primo p, y $n={p-1\over 2}$

Existen enteros positivos m y c tales que:

$2(m_T-n_T)=c$, y c sigue las condiciones 2a y 3a mencionadas anteriormente.

Como se insinuó antes, esta conjectura se cumple para cada primo hasta 397; mi computadora va muy lenta en ese punto para determinar si continúa cumpliéndose. Puede ser que se cumpla para alguna potencia enorme de los factores de c. Esencialmente es cuestión de cuán alto es suficiente para concluir que se ha refutado, pero nunca podremos saber empíricamente ya que no podemos probar cada posible exponente. Solo tenemos que encontrar una demostración. Intentaré encontrar una forma de publicar mi programa de PARI sin ocupar demasiado espacio aquí. ¡Gracias por tu continuo apoyo!

Answer 1

La conjetura no puede ser verdadera si se incluye 1a, porque para que esa cuadrática se cumpla, $A+B = P$ y el valor más grande posible de $AB$ es $\frac{p^2}{4}$ por lo que para primos suficientemente grandes $AB$ no puede incluir factores de todos los primos menores que $\sqrt{p}$.

Así que cambiemos la conjetura a:

Para cualquier primo $p>3$ existen enteros $a, b$ tales que $a-b = p$ o $p = a+b$ y $ab$ es divisible por todos los primos menores que $\sqrt{p}$ y por ningún otro primo. Se necesita la posibilidad de $a+b$ para cubrir primos pequeños como $5$.

Consideraciones sobre la densidad de los primos ciertamente sugieren que esto es cierto para todos los primos suficientemente grandes, pero por supuesto eso no es una prueba.