Puede 18 enteros consecutivos ser separados en dos grupos,de tal manera que su producto es igual?

Question

Puede $18$ consecutivos enteros positivos ser separados en dos grupos, de tal manera que su producto es igual? No podemos dejar de lado cualquier número y ninguno de nosotros puede tomar cualquier número de más de una vez.

Mi trabajo:
Cuando el número más pequeño es no $17$ o de sus múltiples, no puede existir tal acuerdo como $17$ es un primo.

Cuando el menor número es un múltiplo de a$17$, pero no de $13$ o $11$, entonces no hay tal acuerdo existe.

Pero, ¿qué sucede, cuando el menor número es un múltiplo de a $17$ $13$ o $11$ o ambos?
Por favor, ayuda!

Answer 1

Esto es imposible.

En la mayoría de uno de los números enteros puede ser divisible por $19$. Si existe un entero, un grupo va a contener y el otro no. El primer producto que luego es divisible por $19$, mientras que la segunda no lo es (ya $19$ es primo) --- una contradicción.

Así que si esto es posible, el resto de los números de la división por $19$ debe ser, precisamente,$1,2,3,\cdots,18$.

Ahora vamos a $x$ ser el producto de los números en uno de los grupos. Entonces

$x^2 \equiv 18! \equiv -1 \pmod{19}$

por Wilson del Teorema. Sin embargo $-1$ no es un residuo cuadrático de mod $19$, porque la única manera posible de plazas mod $19$$1,4,9,16,6,17,11,7,5$.

Answer 2

Si $18$ consecutivos enteros positivos pueden ser separados en dos grupos con los mismos productos, entonces el producto de todos los $18$ enteros sería un cuadrado perfecto. Sin embargo, el producto de dos o más consecutivos enteros positivos nunca puede ser un cuadrado perfecto, de acuerdo a un famoso teorema de P. Erdős, Nota sobre los productos de números enteros consecutivos, J. Londres Matemáticas. Soc. 14 (1939), 194-198.