Si $f(x)\to f(a)$ cuando $x\to a$, ¿por qué don ' t denotan como $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\to f(a)$?

Question

Si $f(x)\to f(a)$ cuando $x\to a$, ¿por qué no nos indican lo como $$ \lim_{x\to a} f (\to f $$ en vez de $$ \lim_{x\to a}f(x) x) = f (a)? $$

¡Necesito una explicación comprensible para un novato como yo!

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)$ denota un valor que es constante, por lo no cualquier sentido significativo y no triviales tienden a nada. Sin embargo, $f(x)$ se refiere a una cantidad variable, dependiendo del valor de $x$, así una noción de tiende a tiene un significado importante y no trivial.

Answer 2

Esto sería porque $\lim_{x\to a} f(x)$es $f(a)$.

Answer 3

Además de los conceptuales razones mencionadas, se merece énfasis en que la razón para el uso de una ecuación (vs flecha relación) es que nos permite utilizar el razonamiento ecuacional, e.g si $\:\,\rm\displaystyle \:\ell\, :=\, \lim_{x\to a}$

$$\rm \ell(f+gh)\ =\ \ell(f)\, +\, \ell(g)\ \ell(h)$$

que, suponiendo que los límites existen y son conocidos, puede ser evaluado por la costumbre de la lógica ecuacional, aquí el uso de la regla de sustitución, es decir, la sustitución de iguales por iguales, es decir, utilizando la ecuación de $\rm\:\ell(f) = a\:$ a reemplazar a $\rm\:\ell(f)\:$ $\rm\:a\:$ por encima, etc. En particular, si las funciones son todos los polinomios esto corresponde a la evaluación de los polinomios en $\rm\:x = a,\:$ es decir, utilizando las ecuaciones de $\rm\:f(x) = f(a)\:$ etc. evaluar todos los polinomios en $\rm\:x = a.\:$ El algebraicas (ecuacional) la esencia de la cuestión se aclara cuando uno de los estudios puramente algebraica análogos en álgebra abstracta (congruencias, evaluación homomorphisms, etc). De hecho, es posible interpretar que muchos aparentemente analítica de los resultados puramente algebraica, por ejemplo, el producto de la regla de los límites puede ser visto como un caso especial de la congruencia de los productos de la regla.

En general, siempre que uno se puede convertir relacional propiedades ecuacionales a las propiedades que los rendimientos de simplificatons, por ejemplo, la conversión de la congruencia de las relaciones de $\rm\:a\equiv b\,\ (mod\ m)\:$ a las ecuaciones en el anillo cociente $\rm\,\Bbb Z/m\, =\, $ enteros mod $\rm\,m,\:$, lo que nos permite la reutilización de nuestra gran intuición de la manipulación entero ecuaciones en análogo de congruencias.

Answer 4

La notación $\lim_{x\to a} f(x)$ está parado para el número $z$ satisfacer el $ \forall \epsilon >0 : \exists \delta: |x-a|<\delta: |f(x)-z|<\epsilon, $ si este $z$ existe.

$\lim_{x\to a} f(x)$ Está parado para un número y así no se puede cambiar como lo indica la flecha que indica. El hecho de que $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ usado es que este número $z$ es f (a).

Tenga en cuenta que sólo puede haber un tal número $z$ y este número no necesariamente existe. Esto es claro la diferencia entre continuidad y no continuidad.